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Theorem fin1a2lem13 8284
Description: Lemma for fin1a2 8287. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem13  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  ->  -.  ( B  \  C )  e. FinII )

Proof of Theorem fin1a2lem13
Dummy variables  e 
f  g  h  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ( B  \  C )  e. FinII )
2 simpll1 996 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  A  C_  ~P B )
3 ssel2 3335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  g  e.  A
)  ->  g  e.  ~P B )
43elpwid 3800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  g  e.  A
)  ->  g  C_  B )
54ssdifd 3475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  g  e.  A
)  ->  ( g  \  C )  C_  ( B  \  C ) )
6 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  \  C )  ->  (
f  C_  ( B  \  C )  <->  ( g  \  C )  C_  ( B  \  C ) ) )
75, 6syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  g  e.  A
)  ->  ( f  =  ( g  \  C )  ->  f  C_  ( B  \  C
) ) )
87rexlimdva 2822 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  ( E. g  e.  A  f  =  ( g  \  C )  ->  f  C_  ( B  \  C
) ) )
9 vex 2951 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
10 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )
1110elrnmpt 5109 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  f  =  ( g  \  C ) ) )
129, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  <->  E. g  e.  A  f  =  ( g  \  C ) )
139elpw 3797 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ~P ( B 
\  C )  <->  f  C_  ( B  \  C ) )
148, 12, 133imtr4g 262 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  (
f  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  ->  f  e.  ~P ( B  \  C
) ) )
1514ssrdv 3346 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  C_  ~P ( B  \  C ) )
162, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) 
C_  ~P ( B  \  C ) )
17 simplrr 738 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  C  e.  A
)
18 difid 3688 . . . . . . 7  |-  ( C 
\  C )  =  (/)
1918eqcomi 2439 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( C  \  C )
20 difeq1 3450 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  C  ->  (
g  \  C )  =  ( C  \  C ) )
2120eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( g  =  C  ->  ( (/)  =  ( g  \  C )  <->  (/)  =  ( C  \  C ) ) )
2221rspcev 3044 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  (/)  =  ( C  \  C ) )  ->  E. g  e.  A  (/)  =  ( g  \  C ) )
2319, 22mpan2 653 . . . . 5  |-  ( C  e.  A  ->  E. g  e.  A  (/)  =  ( g  \  C ) )
24 0ex 4331 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2510elrnmpt 5109 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  <->  E. g  e.  A  (/)  =  ( g  \  C ) ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  (/)  =  ( g  \  C ) )
2723, 26sylibr 204 . . . 4  |-  ( C  e.  A  ->  (/)  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) )
28 ne0i 3626 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  ->  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =/=  (/) )
2917, 27, 283syl 19 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =/=  (/) )
30 simpll2 997 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  -> [ C.]  Or  A
)
31 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3210elrnmpt 5109 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  x  =  ( g  \  C ) ) )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  <->  E. g  e.  A  x  =  ( g  \  C ) )
34 difeq1 3450 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  e  ->  (
g  \  C )  =  ( e  \  C ) )
3534eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  e  ->  (
x  =  ( g 
\  C )  <->  x  =  ( e  \  C
) ) )
3635cbvrexv 2925 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  A  x  =  ( g  \  C )  <->  E. e  e.  A  x  =  ( e  \  C
) )
37 sorpssi 6520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( e  e.  A  /\  g  e.  A
) )  ->  (
e  C_  g  \/  g  C_  e ) )
38 ssdif 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e 
C_  g  ->  (
e  \  C )  C_  ( g  \  C
) )
39 ssdif 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g 
C_  e  ->  (
g  \  C )  C_  ( e  \  C
) )
4038, 39orim12i 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( e  C_  g  \/  g  C_  e )  -> 
( ( e  \  C )  C_  (
g  \  C )  \/  ( g  \  C
)  C_  ( e  \  C ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( e  e.  A  /\  g  e.  A
) )  ->  (
( e  \  C
)  C_  ( g  \  C )  \/  (
g  \  C )  C_  ( e  \  C
) ) )
42 sseq2 3362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( g  \  C )  ->  (
( e  \  C
)  C_  f  <->  ( e  \  C )  C_  (
g  \  C )
) )
43 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( g  \  C )  ->  (
f  C_  ( e  \  C )  <->  ( g  \  C )  C_  (
e  \  C )
) )
4442, 43orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( g  \  C )  ->  (
( ( e  \  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e 
\  C ) )  <-> 
( ( e  \  C )  C_  (
g  \  C )  \/  ( g  \  C
)  C_  ( e  \  C ) ) ) )
4541, 44syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( e  e.  A  /\  g  e.  A
) )  ->  (
f  =  ( g 
\  C )  -> 
( ( e  \  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e 
\  C ) ) ) )
4645expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  ( g  e.  A  ->  ( f  =  ( g  \  C )  ->  ( ( e 
\  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C
) ) ) ) )
4746rexlimdv 2821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  ( E. g  e.  A  f  =  ( g  \  C )  ->  ( ( e 
\  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C
) ) ) )
4812, 47syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  ( f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  ->  (
( e  \  C
)  C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C ) ) ) )
4948ralrimiv 2780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) ( ( e  \  C ) 
C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C
) ) )
50 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( e  \  C )  ->  (
x  C_  f  <->  ( e  \  C )  C_  f
) )
51 sseq2 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( e  \  C )  ->  (
f  C_  x  <->  f  C_  ( e  \  C
) ) )
5250, 51orbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( e  \  C )  ->  (
( x  C_  f  \/  f  C_  x )  <-> 
( ( e  \  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e 
\  C ) ) ) )
5352ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( e  \  C )  ->  ( A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) ( x 
C_  f  \/  f  C_  x )  <->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) ( ( e  \  C
)  C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C ) ) ) )
5449, 53syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  ( x  =  ( e  \  C )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) ( x 
C_  f  \/  f  C_  x ) ) )
5554rexlimdva 2822 . . . . . . . 8  |-  ( [ C.]  Or  A  ->  ( E. e  e.  A  x  =  ( e  \  C )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) ( x  C_  f  \/  f  C_  x ) ) )
5636, 55syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( [ C.]  Or  A  ->  ( E. g  e.  A  x  =  ( g  \  C )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) ( x  C_  f  \/  f  C_  x ) ) )
5733, 56syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( [ C.]  Or  A  ->  ( x  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) ( x 
C_  f  \/  f  C_  x ) ) )
5857ralrimiv 2780 . . . . 5  |-  ( [ C.]  Or  A  ->  A. x  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) ( x  C_  f  \/  f  C_  x ) )
59 sorpss 6519 . . . . 5  |-  ( [ C.]  Or  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  A. x  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) ( x  C_  f  \/  f  C_  x ) )
6058, 59sylibr 204 . . . 4  |-  ( [ C.]  Or  A  -> [ C.]  Or  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) )
6130, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  -> [ C.]  Or  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) )
62 fin2i 8167 . . 3  |-  ( ( ( ( B  \  C )  e. FinII  /\  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  C_  ~P ( B  \  C ) )  /\  ( ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) ) )  ->  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
631, 16, 29, 61, 62syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) )
64 simpll3 998 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  -.  U. A  e.  A )
65 difeq1 3450 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  (
g  \  C )  =  ( f  \  C ) )
6665cbvmptv 4292 . . . . . 6  |-  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  e.  A  |->  ( f  \  C ) )
6766elrnmpt 5109 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  ->  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  e. 
ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. f  e.  A  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  =  ( f 
\  C ) ) )
6867ibi 233 . . . 4  |-  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  ->  E. f  e.  A  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  =  ( f 
\  C ) )
69 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h 
\  C )  =  ( h  \  C
)
70 difeq1 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  h  ->  (
g  \  C )  =  ( h  \  C ) )
7170eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (
( h  \  C
)  =  ( g 
\  C )  <->  ( h  \  C )  =  ( h  \  C ) ) )
7271rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( h  e.  A  /\  ( h  \  C )  =  ( h  \  C ) )  ->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) )
7369, 72mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  A  ->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) )
7473adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) )
75 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  h  e. 
_V
76 difexg 4343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  _V  ->  (
h  \  C )  e.  _V )
7710elrnmpt 5109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  \  C )  e.  _V  ->  (
( h  \  C
)  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) ) )
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( h  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  <->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) )
7974, 78sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( h  \  C
)  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
80 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( h  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  ->  ( h  \  C )  C_  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( h  \  C
)  C_  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
82 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )
8381, 82sseqtrd 3376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( h  \  C
)  C_  ( f  \  C ) )
8483adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
h  \  C )  C_  ( f  \  C
) )
85 unss2 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  \  C ) 
C_  ( f  \  C )  ->  ( C  u.  ( h  \  C ) )  C_  ( C  u.  (
f  \  C )
) )
86 uncom 3483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  u.  ( h  \  C ) )  =  ( ( h  \  C )  u.  C
)
87 undif1 3695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  \  C )  u.  C )  =  ( h  u.  C
)
8886, 87eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  u.  ( h  \  C ) )  =  ( h  u.  C
)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( C  u.  ( h  \  C ) )  =  ( h  u.  C
) )
9064ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  -.  U. A  e.  A )
9117ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  C  e.  A )
92 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )
93 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x 
\  C )  =  ( x  \  C
)
94 difeq1 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( g  =  x  ->  (
g  \  C )  =  ( x  \  C ) )
9594eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( g  =  x  ->  (
( x  \  C
)  =  ( g 
\  C )  <->  ( x  \  C )  =  ( x  \  C ) ) )
9695rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( x  \  C )  =  ( x  \  C ) )  ->  E. g  e.  A  ( x  \  C )  =  ( g  \  C ) )
9793, 96mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  A  ->  E. g  e.  A  ( x  \  C )  =  ( g  \  C ) )
98 difexg 4343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  C )  e.  _V )
9910elrnmpt 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  \  C )  e.  _V  ->  (
( x  \  C
)  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  ( x  \  C )  =  ( g  \  C ) ) )
10031, 98, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  <->  E. g  e.  A  ( x  \  C )  =  ( g  \  C ) )
10197, 100sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
103 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )
104 ssdif0 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f 
C_  C  <->  ( f  \  C )  =  (/) )
105104biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f 
C_  C  ->  (
f  \  C )  =  (/) )
106105ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  (
f  \  C )  =  (/) )
107103, 106eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  (/) )
108 uni0c 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  (/)  <->  A. e  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) e  =  (/) )
109107, 108sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  A. e  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) e  =  (/) )
110 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( e  =  ( x  \  C )  ->  (
e  =  (/)  <->  ( x  \  C )  =  (/) ) )
111110rspcva 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  \  C
)  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  /\  A. e  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) e  =  (/) )  ->  (
x  \  C )  =  (/) )
112102, 109, 111syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  \  C )  =  (/) )
113 ssdif0 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x 
C_  C  <->  ( x  \  C )  =  (/) )
114112, 113sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  C )
115114ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  A. x  e.  A  x  C_  C )
116 unissb 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U. A  C_  C  <->  A. x  e.  A  x  C_  C
)
117115, 116sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  U. A  C_  C )
118 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( C  e.  A  ->  C  C_ 
U. A )
119118ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  C  C_  U. A )
120117, 119eqssd 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  U. A  =  C
)
121 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  C  e.  A )
122120, 121eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  U. A  e.  A
)
123122ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  A  /\  U.
ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  =  ( f  \  C
) )  ->  (
f  C_  C  ->  U. A  e.  A ) )
12491, 92, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
f  C_  C  ->  U. A  e.  A ) )
12590, 124mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  -.  f  C_  C )
12630ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  -> [ C.]  Or  A )
127 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  f  e.  A )
128 sorpssi 6520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( f  e.  A  /\  C  e.  A
) )  ->  (
f  C_  C  \/  C  C_  f ) )
129126, 127, 91, 128syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
f  C_  C  \/  C  C_  f ) )
130 orel1 372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  f  C_  C  ->  ( ( f  C_  C  \/  C  C_  f )  ->  C  C_  f
) )
131125, 129, 130sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  C  C_  f )
132 undif 3700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C 
C_  f  <->  ( C  u.  ( f  \  C
) )  =  f )
133131, 132sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( C  u.  ( f  \  C ) )  =  f )
13489, 133sseq12d 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
( C  u.  (
h  \  C )
)  C_  ( C  u.  ( f  \  C
) )  <->  ( h  u.  C )  C_  f
) )
135 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  h  C_  ( h  u.  C
)
136 sstr 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( h  C_  ( h  u.  C )  /\  (
h  u.  C ) 
C_  f )  ->  h  C_  f )
137135, 136mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h  u.  C ) 
C_  f  ->  h  C_  f )
138134, 137syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
( C  u.  (
h  \  C )
)  C_  ( C  u.  ( f  \  C
) )  ->  h  C_  f ) )
13985, 138syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
( h  \  C
)  C_  ( f  \  C )  ->  h  C_  f ) )
14084, 139mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  h  C_  f )
141140ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  A. h  e.  A  h  C_  f
)
142 unissb 4037 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  f  <->  A. h  e.  A  h  C_  f
)
143141, 142sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  U. A  C_  f )
144 elssuni 4035 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  A  ->  f  C_ 
U. A )
145144ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  f  C_ 
U. A )
146143, 145eqssd 3357 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  U. A  =  f )
147 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  f  e.  A )
148146, 147eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  U. A  e.  A )
149148rexlimdvaa 2823 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ( E. f  e.  A  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  =  ( f 
\  C )  ->  U. A  e.  A
) )
15068, 149syl5 30 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  ->  U. A  e.  A ) )
15164, 150mtod 170 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  -.  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
15263, 151pm2.65da 560 1  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  ->  -.  ( B  \  C )  e. FinII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    Or wor 4494   ran crn 4871   [ C.] crpss 6513   Fincfn 7101  FinIIcfin2 8151
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-dm 4880  df-rn 4881  df-rpss 6514  df-fin2 8158
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