MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem4 Unicode version

Theorem fin1a2lem4 8045
Description: Lemma for fin1a2 8057. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1a2lem.b  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem4  |-  E : om
-1-1-> om

Proof of Theorem fin1a2lem4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1a2lem.b . . 3  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
2 2onn 6654 . . . 4  |-  2o  e.  om
3 nnmcl 6626 . . . 4  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( 2o  .o  x
)  e.  om )
42, 3mpan 651 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( 2o  .o  x )  e. 
om )
51, 4fmpti 5699 . 2  |-  E : om
--> om
61fin1a2lem3 8044 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( E `  a )  =  ( 2o  .o  a ) )
71fin1a2lem3 8044 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( E `  b )  =  ( 2o  .o  b ) )
86, 7eqeqan12d 2311 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  <-> 
( 2o  .o  a
)  =  ( 2o 
.o  b ) ) )
9 2on 6503 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
109a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  2o  e.  On )
11 nnon 4678 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  a  e.  On )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  a  e.  On )
13 nnon 4678 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
1413adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  b  e.  On )
15 0lt1o 6519 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  1o
16 elelsuc 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (/)  e.  suc  1o )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  suc  1o
18 df-2o 6496 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
1917, 18eleqtrri 2369 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  2o
2019a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
21 omcan 6583 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2o  e.  On  /\  a  e.  On  /\  b  e.  On )  /\  (/)  e.  2o )  ->  ( ( 2o 
.o  a )  =  ( 2o  .o  b
)  <->  a  =  b ) )
2210, 12, 14, 20, 21syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( 2o  .o  a )  =  ( 2o  .o  b )  <-> 
a  =  b ) )
238, 22bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  <-> 
a  =  b ) )
2423biimpd 198 . . 3  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  ->  a  =  b ) )
2524rgen2a 2622 . 2  |-  A. a  e.  om  A. b  e. 
om  ( ( E `
 a )  =  ( E `  b
)  ->  a  =  b )
26 dff13 5799 . 2  |-  ( E : om -1-1-> om  <->  ( E : om --> om  /\  A. a  e.  om  A. b  e. 
om  ( ( E `
 a )  =  ( E `  b
)  ->  a  =  b ) ) )
275, 25, 26mpbir2an 886 1  |-  E : om
-1-1-> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   (/)c0 3468    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    .o comu 6493
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8046  fin1a2lem6  8047  fin1a2lem7  8048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500
  Copyright terms: Public domain W3C validator