MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem4 Structured version   Unicode version

Theorem fin1a2lem4 8275
Description: Lemma for fin1a2 8287. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1a2lem.b  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem4  |-  E : om
-1-1-> om

Proof of Theorem fin1a2lem4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1a2lem.b . . 3  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
2 2onn 6875 . . . 4  |-  2o  e.  om
3 nnmcl 6847 . . . 4  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( 2o  .o  x
)  e.  om )
42, 3mpan 652 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( 2o  .o  x )  e. 
om )
51, 4fmpti 5884 . 2  |-  E : om
--> om
61fin1a2lem3 8274 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( E `  a )  =  ( 2o  .o  a ) )
71fin1a2lem3 8274 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( E `  b )  =  ( 2o  .o  b ) )
86, 7eqeqan12d 2450 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  <-> 
( 2o  .o  a
)  =  ( 2o 
.o  b ) ) )
9 2on 6724 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  2o  e.  On )
11 nnon 4843 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  a  e.  On )
1211adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  a  e.  On )
13 nnon 4843 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  b  e.  On )
15 0lt1o 6740 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  1o
16 elelsuc 4645 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (/)  e.  suc  1o )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  suc  1o
18 df-2o 6717 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
1917, 18eleqtrri 2508 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  2o
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
21 omcan 6804 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2o  e.  On  /\  a  e.  On  /\  b  e.  On )  /\  (/)  e.  2o )  ->  ( ( 2o 
.o  a )  =  ( 2o  .o  b
)  <->  a  =  b ) )
2210, 12, 14, 20, 21syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( 2o  .o  a )  =  ( 2o  .o  b )  <-> 
a  =  b ) )
238, 22bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  <-> 
a  =  b ) )
2423biimpd 199 . . 3  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  ->  a  =  b ) )
2524rgen2a 2764 . 2  |-  A. a  e.  om  A. b  e. 
om  ( ( E `
 a )  =  ( E `  b
)  ->  a  =  b )
26 dff13 5996 . 2  |-  ( E : om -1-1-> om  <->  ( E : om --> om  /\  A. a  e.  om  A. b  e. 
om  ( ( E `
 a )  =  ( E `  b
)  ->  a  =  b ) ) )
275, 25, 26mpbir2an 887 1  |-  E : om
-1-1-> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   (/)c0 3620    e. cmpt 4258   Oncon0 4573   suc csuc 4575   omcom 4837   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709   2oc2o 6710    .o comu 6714
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8276  fin1a2lem6  8277  fin1a2lem7  8278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721
  Copyright terms: Public domain W3C validator