MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem5 Unicode version

Theorem fin1a2lem5 8030
Description: Lemma for fin1a2 8041. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1a2lem.b  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ran  E  <->  -.  suc  A  e.  ran  E ) )

Proof of Theorem fin1a2lem5
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nneob 6650 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. a  e.  om  A  =  ( 2o  .o  a )  <->  -.  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
2 fin1a2lem.b . . . . . 6  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
32fin1a2lem4 8029 . . . . 5  |-  E : om
-1-1-> om
4 f1fn 5438 . . . . 5  |-  ( E : om -1-1-> om  ->  E  Fn  om )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  E  Fn  om
6 fvelrnb 5570 . . . 4  |-  ( E  Fn  om  ->  ( A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  A ) )
75, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  A )
8 eqcom 2285 . . . . 5  |-  ( ( E `  a )  =  A  <->  A  =  ( E `  a ) )
92fin1a2lem3 8028 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( E `  a )  =  ( 2o  .o  a ) )
109eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  ( A  =  ( E `  a )  <->  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
118, 10syl5bb 248 . . . 4  |-  ( a  e.  om  ->  (
( E `  a
)  =  A  <->  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
1211rexbiia 2576 . . 3  |-  ( E. a  e.  om  ( E `  a )  =  A  <->  E. a  e.  om  A  =  ( 2o  .o  a ) )
137, 12bitri 240 . 2  |-  ( A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  A  =  ( 2o  .o  a ) )
14 fvelrnb 5570 . . . . 5  |-  ( E  Fn  om  ->  ( suc  A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  suc  A ) )
155, 14ax-mp 8 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  suc  A )
16 eqcom 2285 . . . . . 6  |-  ( ( E `  a )  =  suc  A  <->  suc  A  =  ( E `  a
) )
179eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( suc  A  =  ( E `
 a )  <->  suc  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
1816, 17syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  (
( E `  a
)  =  suc  A  <->  suc 
A  =  ( 2o 
.o  a ) ) )
1918rexbiia 2576 . . . 4  |-  ( E. a  e.  om  ( E `  a )  =  suc  A  <->  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  a
) )
2015, 19bitri 240 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  a ) )
2120notbii 287 . 2  |-  ( -. 
suc  A  e.  ran  E  <->  -.  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  a ) )
221, 13, 213bitr4g 279 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ran  E  <->  -.  suc  A  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   2oc2o 6473    .o comu 6477
This theorem is referenced by:  fin1a2lem6  8031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator