MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem8 Structured version   Unicode version

Theorem fin1a2lem8 8280
Description: Lemma for fin1a2 8288. Split a III-infinite set in two pieces. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )  ->  A  e. FinIII )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem fin1a2lem8
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2  |-  ( y  e.  om  |->  ( 2o 
.o  y ) )  =  ( y  e. 
om  |->  ( 2o  .o  y ) )
2 eqid 2436 . 2  |-  ( y  e.  On  |->  suc  y
)  =  ( y  e.  On  |->  suc  y
)
31, 2fin1a2lem7 8279 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )  ->  A  e. FinIII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2698    \ cdif 3310   ~Pcpw 3792    e. cmpt 4259   Oncon0 4574   suc csuc 4576   omcom 4838  (class class class)co 6074   2oc2o 6711    .o comu 6715  FinIIIcfin3 8154
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-seqom 6698  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-omul 6722  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-wdom 7520  df-card 7819  df-fin4 8160  df-fin3 8161
  Copyright terms: Public domain W3C validator