MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem8 Unicode version

Theorem fin1a2lem8 8213
Description: Lemma for fin1a2 8221. Split a III-infinite set in two pieces. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )  ->  A  e. FinIII )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem fin1a2lem8
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . 2  |-  ( y  e.  om  |->  ( 2o 
.o  y ) )  =  ( y  e. 
om  |->  ( 2o  .o  y ) )
2 eqid 2380 . 2  |-  ( y  e.  On  |->  suc  y
)  =  ( y  e.  On  |->  suc  y
)
31, 2fin1a2lem7 8212 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )  ->  A  e. FinIII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2642    \ cdif 3253   ~Pcpw 3735    e. cmpt 4200   Oncon0 4515   suc csuc 4517   omcom 4778  (class class class)co 6013   2oc2o 6647    .o comu 6651  FinIIIcfin3 8087
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-seqom 6634  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-wdom 7453  df-card 7752  df-fin4 8093  df-fin3 8094
  Copyright terms: Public domain W3C validator