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Theorem fin1a2s 8296
Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2s  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem fin1a2s
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3809 . . . 4  |-  ( c  e.  ~P ~P A  ->  c  C_  ~P A
)
2 fin12 8295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e. FinII
)
3 fin23 8271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e. FinII  ->  x  e. FinIII )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e. FinIII )
5 fin23 8271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  x )  e. FinII  ->  ( A  \  x )  e. FinIII )
64, 5orim12i 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  (
x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )
76ralimi 2783 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )
8 fin1a2lem8 8289 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )  ->  A  e. FinIII )
97, 8sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinIII )
109adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  ->  A  e. FinIII )
11 simplrl 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  C_ 
~P A )
12 simprrr 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  -> [ C.]  Or  c )
1312adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  -> [ C.]  Or  c )
14 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  -.  U. c  e.  c )
15 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  c  C_  ~P A )
16 ssralv 3409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  ~P A  ->  ( A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII )  ->  A. x  e.  c 
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  ( x  e.  Fin  \/  ( A 
\  x )  e. FinII ) ) )
18 idd 23 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
x  e.  Fin  ->  x  e.  Fin ) )
19 fin1a2lem13 8294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c ) )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII )
2019ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
21203expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c
)  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  (
( -.  x  e. 
Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x
)  e. FinII ) )
2221adantlrl 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2322adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2423imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c ) )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII )
2524ancom2s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  (
x  e.  c  /\  -.  x  e.  Fin ) )  ->  -.  ( A  \  x
)  e. FinII )
2625expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2726con4d 100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
( A  \  x
)  e. FinII  ->  x  e.  Fin ) )
2818, 27jaod 371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  x  e.  Fin ) )
2928ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  c  (
x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin ) )
3017, 29syld 43 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin ) )
3130impr 604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin )
32 dfss3 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
C_  Fin  <->  A. x  e.  c  x  e.  Fin )
3331, 32sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  C_ 
Fin )
34 simprrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  -> 
c  =/=  (/) )
3534adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  =/=  (/) )
36 fin1a2lem12 8293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  (
c  C_  Fin  /\  c  =/=  (/) ) )  ->  -.  A  e. FinIII )
3711, 13, 14, 33, 35, 36syl32anc 1193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  -.  A  e. FinIII )
3837expr 600 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  -.  A  e. FinIII ) )
3938impancom 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( -.  U. c  e.  c  ->  -.  A  e. FinIII ) )
4039an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  ->  ( -.  U. c  e.  c  ->  -.  A  e. FinIII ) )
4110, 40mt4d 133 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  ->  U. c  e.  c )
4241exp32 590 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( c  C_  ~P A  ->  ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
431, 42syl5 31 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( c  e.  ~P ~P A  ->  ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c )  ->  U. c  e.  c ) ) )
4443ralrimiv 2790 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) )
45 isfin2 8176 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
4645adantr 453 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( A  e. FinII  <->  A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c )  ->  U. c  e.  c ) ) )
4744, 46mpbird 225 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017    Or wor 4504   [ C.] crpss 6523   Fincfn 7111  FinIIcfin2 8161  FinIIIcfin3 8163
This theorem is referenced by:  fin1a2  8297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-rpss 6524  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-seqom 6707  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-wdom 7529  df-card 7828  df-fin2 8168  df-fin4 8169  df-fin3 8170
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