Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1aufil Unicode version

Theorem fin1aufil 17627
 Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) , the set of infinite subsets of is a free ultrafilter on . (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1aufil.1
Assertion
Ref Expression
fin1aufil FinIa

Proof of Theorem fin1aufil
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1aufil.1 . . . . . . 7
21eleq2i 2347 . . . . . 6
3 eldif 3162 . . . . . 6
4 vex 2791 . . . . . . . 8
54elpw 3631 . . . . . . 7
65anbi1i 676 . . . . . 6
72, 3, 63bitri 262 . . . . 5
87a1i 10 . . . 4 FinIa
9 elex 2796 . . . 4 FinIa
10 eldifn 3299 . . . . 5 FinIa
11 eleq1 2343 . . . . . . 7
1211notbid 285 . . . . . 6
1312sbcieg 3023 . . . . 5 FinIa
1410, 13mpbird 223 . . . 4 FinIa
15 0fin 7087 . . . . . 6
16 0ex 4150 . . . . . . . 8
17 eleq1 2343 . . . . . . . . 9
1817notbid 285 . . . . . . . 8
1916, 18sbcie 3025 . . . . . . 7
2019con2bii 322 . . . . . 6
2115, 20mpbi 199 . . . . 5
2221a1i 10 . . . 4 FinIa
23 ssfi 7083 . . . . . . . 8
2423expcom 424 . . . . . . 7
25243ad2ant3 978 . . . . . 6 FinIa
2625con3d 125 . . . . 5 FinIa
27 vex 2791 . . . . . 6
28 eleq1 2343 . . . . . . 7
2928notbid 285 . . . . . 6
3027, 29sbcie 3025 . . . . 5
31 vex 2791 . . . . . 6
32 eleq1 2343 . . . . . . 7
3332notbid 285 . . . . . 6
3431, 33sbcie 3025 . . . . 5
3526, 30, 343imtr4g 261 . . . 4 FinIa
36 eldifi 3298 . . . . . . . . 9 FinIa FinIa
37 fin1ai 7919 . . . . . . . . 9 FinIa
3836, 37sylan 457 . . . . . . . 8 FinIa
39383adant3 975 . . . . . . 7 FinIa
40 inundif 3532 . . . . . . . . . . 11
41 incom 3361 . . . . . . . . . . . . 13
42 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13 FinIa
4341, 42syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . 12 FinIa
44 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13 FinIa
45 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . 14 FinIa
46 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . . . 14
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 FinIa
48 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . 13
4944, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 FinIa
50 unfi 7124 . . . . . . . . . . . 12
5143, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 FinIa
5240, 51syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . 10 FinIa
5352expr 598 . . . . . . . . 9 FinIa
5453orim2d 813 . . . . . . . 8 FinIa
5554ex 423 . . . . . . 7 FinIa
5639, 55mpid 37 . . . . . 6 FinIa
5756con3d 125 . . . . 5 FinIa
5834, 30anbi12i 678 . . . . . 6
59 ioran 476 . . . . . 6
6058, 59bitr4i 243 . . . . 5
6131inex1 4155 . . . . . 6
62 eleq1 2343 . . . . . . 7
6362notbid 285 . . . . . 6
6461, 63sbcie 3025 . . . . 5
6557, 60, 643imtr4g 261 . . . 4 FinIa
668, 9, 14, 22, 35, 65isfild 17553 . . 3 FinIa
6710adantr 451 . . . . . . 7 FinIa
68 unfi 7124 . . . . . . . 8
69 ssun2 3339 . . . . . . . . 9
70 undif2 3530 . . . . . . . . 9
7169, 70sseqtr4i 3211 . . . . . . . 8
72 ssfi 7083 . . . . . . . 8
7368, 71, 72sylancl 643 . . . . . . 7
7467, 73nsyl 113 . . . . . 6 FinIa
75 ianor 474 . . . . . 6
7674, 75sylib 188 . . . . 5 FinIa
77 elpwi 3633 . . . . . . . 8
7877adantl 452 . . . . . . 7 FinIa
797baib 871 . . . . . . 7
8078, 79syl 15 . . . . . 6 FinIa
811eleq2i 2347 . . . . . . 7
82 difss 3303 . . . . . . . . 9
83 elpw2g 4174 . . . . . . . . . 10 FinIa
8483adantr 451 . . . . . . . . 9 FinIa
8582, 84mpbiri 224 . . . . . . . 8 FinIa
86 eldif 3162 . . . . . . . . 9
8786baib 871 . . . . . . . 8
8885, 87syl 15 . . . . . . 7 FinIa
8981, 88syl5bb 248 . . . . . 6 FinIa
9080, 89orbi12d 690 . . . . 5 FinIa
9176, 90mpbird 223 . . . 4 FinIa
9291ralrimiva 2626 . . 3 FinIa
93 isufil 17598 . . 3
9466, 92, 93sylanbrc 645 . 2 FinIa
95 snfi 6941 . . . . 5
96 eldifn 3299 . . . . . 6
9796, 1eleq2s 2375 . . . . 5
9895, 97mt2 170 . . . 4
99 uffixsn 17620 . . . . . 6
10094, 99sylan 457 . . . . 5 FinIa
101100ex 423 . . . 4 FinIa
10298, 101mtoi 169 . . 3 FinIa
103102eq0rdv 3489 . 2 FinIa
10494, 103jca 518 1 FinIa
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wsbc 2991   cdif 3149   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cpw 3625  csn 3640  cint 3862  cfv 5255  cfn 6863  FinIacfin1a 7904  cfil 17540  cufil 17594 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fin1a 7911  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-ufil 17596
 Copyright terms: Public domain W3C validator