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Theorem fin23lem11 7943
Description: Lemma for isfin2-2 7945. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem11.1  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
fin23lem11.2  |-  ( w  =  ( A  \ 
v )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fin23lem11.3  |-  ( ( x  C_  A  /\  v  C_  A )  -> 
( ch  <->  th )
)
Assertion
Ref Expression
fin23lem11  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  ( E. x  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B } A. w  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  -.  ph  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
)
Distinct variable groups:    v, c, w, x, z, A    B, c, v, w, x, z    ch, z    ph, v    ps, x    th, w
Allowed substitution hints:    ph( x, z, w, c)    ps( z, w, v, c)    ch( x, w, v, c)    th( x, z, v, c)

Proof of Theorem fin23lem11
StepHypRef Expression
1 difeq2 3288 . . . . 5  |-  ( c  =  x  ->  ( A  \  c )  =  ( A  \  x
) )
21eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( c  =  x  ->  (
( A  \  c
)  e.  B  <->  ( A  \  x )  e.  B
) )
32elrab 2923 . . 3  |-  ( x  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )
4 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  -> 
( A  \  x
)  e.  B )
5 difss 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
\  v )  C_  A
6 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( A  u.  x
)
7 undif1 3529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  x )  u.  x )  =  ( A  u.  x
)
86, 7sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( ( A  \  x )  u.  x
)
9 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  x )  e.  B )
10 simpl2l 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  ~P A )
11 unexg 4521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  B  /\  x  e.  ~P A
)  ->  ( ( A  \  x )  u.  x )  e.  _V )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  (
( A  \  x
)  u.  x )  e.  _V )
13 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  ( ( A  \  x )  u.  x )  /\  (
( A  \  x
)  u.  x )  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
148, 12, 13sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  A  e.  _V )
15 elpw2g 4174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  \  v
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  v ) 
C_  A ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  (
( A  \  v
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  v ) 
C_  A ) )
175, 16mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  v )  e. 
~P A )
18 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  B  C_ 
~P A )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  B )
2018, 19sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  ~P A )
21 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ~P A  -> 
v  C_  A )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  v  C_  A )
23 dfss4 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  v
) )  =  v )
2422, 23sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  ( A  \ 
v ) )  =  v )
2524, 19eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  ( A  \ 
v ) )  e.  B )
26 difeq2 3288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( A  \ 
v )  ->  ( A  \  c )  =  ( A  \  ( A  \  v ) ) )
2726eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( A  \ 
v )  ->  (
( A  \  c
)  e.  B  <->  ( A  \  ( A  \  v
) )  e.  B
) )
2827elrab 2923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  v )  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  <->  ( ( A  \  v )  e. 
~P A  /\  ( A  \  ( A  \ 
v ) )  e.  B ) )
2917, 25, 28sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  v )  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B } )
30 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )
31 fin23lem11.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( A  \ 
v )  ->  ( ph 
<->  th ) )
3231notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( A  \ 
v )  ->  ( -.  ph  <->  -.  th )
)
3332rspcva 2882 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  v
)  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  /\  A. w  e.  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  B }  -.  ph )  ->  -.  th )
3429, 30, 33syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  -.  th )
35 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  ~P A
)
36 elpwi 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  x  C_  A )
38 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  v  e.  B
)  ->  v  e.  ~P A )
3938adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  ~P A
)
40 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
_V
4140elpw 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ~P A  <->  v  C_  A )
4239, 41sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  v  C_  A )
43 fin23lem11.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  A  /\  v  C_  A )  -> 
( ch  <->  th )
)
4437, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  ( ch  <->  th )
)
4544notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  ( -.  ch  <->  -.  th )
)
46453adantl3 1113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( -.  ch  <->  -.  th )
)
4734, 46mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  -.  ch )
4847ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  ->  A. v  e.  B  -.  ch )
49 fin23lem11.1 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
5049notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
5150ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( A. v  e.  B  -.  ps  <->  A. v  e.  B  -.  ch ) )
5251rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  B  /\  A. v  e.  B  -.  ch )  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
534, 48, 52syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
54533exp 1150 . . 3  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph 
->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps ) ) )
553, 54syl5bi 208 . 2  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  (
x  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  ->  ( A. w  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
) )
5655rexlimdv 2666 1  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  ( E. x  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B } A. w  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  -.  ph  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625
This theorem is referenced by:  fin2i2  7944  isfin2-2  7945
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828
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