Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem14 Structured version   Unicode version

Theorem fin23lem14 8213
 Description: Lemma for fin23 8269. will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem.a seq𝜔
Assertion
Ref Expression
fin23lem14
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem fin23lem14
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . . 5
21neeq1d 2614 . . . 4
32imbi2d 308 . . 3
4 fveq2 5728 . . . . 5
54neeq1d 2614 . . . 4
65imbi2d 308 . . 3
7 fveq2 5728 . . . . 5
87neeq1d 2614 . . . 4
98imbi2d 308 . . 3
10 fveq2 5728 . . . . 5
1110neeq1d 2614 . . . 4
1211imbi2d 308 . . 3
13 vex 2959 . . . . . . 7
1413rnex 5133 . . . . . 6
1514uniex 4705 . . . . 5
16 fin23lem.a . . . . . 6 seq𝜔
1716seqom0g 6713 . . . . 5
1815, 17mp1i 12 . . . 4
19 id 20 . . . 4
2018, 19eqnetrd 2619 . . 3
2116fin23lem12 8211 . . . . . . 7
2221adantr 452 . . . . . 6
23 iftrue 3745 . . . . . . . . 9
2423adantr 452 . . . . . . . 8
25 simprr 734 . . . . . . . 8
2624, 25eqnetrd 2619 . . . . . . 7
27 iffalse 3746 . . . . . . . . 9
2827adantr 452 . . . . . . . 8
29 df-ne 2601 . . . . . . . . . 10
3029biimpri 198 . . . . . . . . 9
3130adantr 452 . . . . . . . 8
3228, 31eqnetrd 2619 . . . . . . 7
3326, 32pm2.61ian 766 . . . . . 6
3422, 33eqnetrd 2619 . . . . 5
3534ex 424 . . . 4
3635imim2d 50 . . 3
373, 6, 9, 12, 20, 36finds 4871 . 2
3837imp 419 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cvv 2956   cin 3319  c0 3628  cif 3739  cuni 4015   csuc 4583  com 4845   crn 4879  cfv 5454   cmpt2 6083  seq𝜔cseqom 6704 This theorem is referenced by:  fin23lem21  8219 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705
 Copyright terms: Public domain W3C validator