Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem16 Structured version   Unicode version

Theorem fin23lem16 8220
 Description: Lemma for fin23 8274. ranges over the original set; in particular is a set, although we do not assume here that is. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem.a seq𝜔
Assertion
Ref Expression
fin23lem16
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fin23lem16
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unissb 4047 . . 3
2 fin23lem.a . . . . . 6 seq𝜔
32fnseqom 6715 . . . . 5
4 fvelrnb 5777 . . . . 5
53, 4ax-mp 5 . . . 4
6 peano1 4867 . . . . . . . 8
7 0ss 3658 . . . . . . . . 9
82fin23lem15 8219 . . . . . . . . 9
97, 8mpan2 654 . . . . . . . 8
106, 9mpan2 654 . . . . . . 7
11 vex 2961 . . . . . . . . . 10
1211rnex 5136 . . . . . . . . 9
1312uniex 4708 . . . . . . . 8
142seqom0g 6716 . . . . . . . 8
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7
1610, 15syl6sseq 3396 . . . . . 6
17 sseq1 3371 . . . . . 6
1816, 17syl5ibcom 213 . . . . 5
1918rexlimiv 2826 . . . 4
205, 19sylbi 189 . . 3
211, 20mprgbir 2778 . 2
22 fnfvelrn 5870 . . . . 5
233, 6, 22mp2an 655 . . . 4
2415, 23eqeltrri 2509 . . 3
25 elssuni 4045 . . 3
2624, 25ax-mp 5 . 2
2721, 26eqssi 3366 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cif 3741  cuni 4017  com 4848   crn 4882   wfn 5452  cfv 5457   cmpt2 6086  seq𝜔cseqom 6707 This theorem is referenced by:  fin23lem17  8223  fin23lem31  8228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708
 Copyright terms: Public domain W3C validator