Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem17 Structured version   Unicode version

Theorem fin23lem17 8219
 Description: Lemma for fin23 8270. By ? Fin3DS ? , achieves its minimum ( in the synopsis above, but we will not be assigning a symbol here). TODO: Fix comment; math symbol Fin3DS does not exist. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a seq𝜔
fin23lem17.f
Assertion
Ref Expression
fin23lem17
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem fin23lem17
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . . . . 6 seq𝜔
21fnseqom 6713 . . . . 5
3 dffn3 5599 . . . . 5
42, 3mpbi 201 . . . 4
5 pwuni 4396 . . . . 5
61fin23lem16 8216 . . . . . 6
76pweqi 3804 . . . . 5
85, 7sseqtri 3381 . . . 4
9 fss 5600 . . . 4
104, 8, 9mp2an 655 . . 3
11 vex 2960 . . . . . . 7
1211rnex 5134 . . . . . 6
1312uniex 4706 . . . . 5
1413pwex 4383 . . . 4
15 f1f 5640 . . . . . 6
16 dmfex 5627 . . . . . 6
1711, 15, 16sylancr 646 . . . . 5
1817adantl 454 . . . 4
19 elmapg 7032 . . . 4
2014, 18, 19sylancr 646 . . 3
2110, 20mpbiri 226 . 2
22 fin23lem17.f . . . . 5
2322isfin3ds 8210 . . . 4
2423ibi 234 . . 3
261fin23lem13 8213 . . . 4
2726rgen 2772 . . 3
2827a1i 11 . 2
29 fveq1 5728 . . . . . 6
30 fveq1 5728 . . . . . 6
3129, 30sseq12d 3378 . . . . 5
3231ralbidv 2726 . . . 4
33 rneq 5096 . . . . . 6
3433inteqd 4056 . . . . 5
3534, 33eleq12d 2505 . . . 4
3632, 35imbi12d 313 . . 3
3736rspcv 3049 . 2
3821, 25, 28, 37syl3c 60 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cab 2423  wral 2706  cvv 2957   cin 3320   wss 3321  c0 3629  cif 3740  cpw 3800  cuni 4016  cint 4051   csuc 4584  com 4846   crn 4880   wfn 5450  wf 5451  wf1 5452  cfv 5455  (class class class)co 6082   cmpt2 6084  seq𝜔cseqom 6705   cmap 7019 This theorem is referenced by:  fin23lem21  8220 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-seqom 6706  df-map 7021
 Copyright terms: Public domain W3C validator