Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem22 Structured version   Unicode version

Theorem fin23lem22 8212
 Description: Lemma for fin23 8274 but could be used elsewhere if we find a good name for it. Explicit construction of a bijection (actually an isomorphism, see fin23lem27 8213) between an infinite subset of and itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem22.b
Assertion
Ref Expression
fin23lem22
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fin23lem22
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem22.b . 2
2 fin23lem23 8211 . . 3
3 riotacl 6567 . . 3
42, 3syl 16 . 2
5 simpll 732 . . . 4
6 simpr 449 . . . 4
75, 6sseldd 3351 . . 3
8 nnfi 7302 . . 3
9 infi 7335 . . 3
10 ficardom 7853 . . 3
117, 8, 9, 104syl 20 . 2
12 cardnn 7855 . . . . . . 7
1312eqcomd 2443 . . . . . 6
1413eqeq1d 2446 . . . . 5
15 eqcom 2440 . . . . 5
1614, 15syl6bb 254 . . . 4
18 simpll 732 . . . . . . 7
19 simprr 735 . . . . . . 7
2018, 19sseldd 3351 . . . . . 6
21 nnon 4854 . . . . . 6
22 onenon 7841 . . . . . 6
2320, 21, 223syl 19 . . . . 5
24 inss1 3563 . . . . 5
25 ssnum 7925 . . . . 5
2623, 24, 25sylancl 645 . . . 4
27 nnon 4854 . . . . . 6
2827ad2antrl 710 . . . . 5
29 onenon 7841 . . . . 5
3028, 29syl 16 . . . 4
31 carden2 7879 . . . 4
3226, 30, 31syl2anc 644 . . 3
332adantrr 699 . . . . 5
34 ineq1 3537 . . . . . . 7
3534breq1d 4225 . . . . . 6
3635riota2 6575 . . . . 5
3719, 33, 36syl2anc 644 . . . 4
38 eqcom 2440 . . . 4
3937, 38syl6bb 254 . . 3
4017, 32, 393bitrd 272 . 2
411, 4, 11, 40f1o2d 6299 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wreu 2709   cin 3321   wss 3322   class class class wbr 4215   cmpt 4269  con0 4584  com 4848   cdm 4881  wf1o 5456  cfv 5457  crio 6545   cen 7109  cfn 7112  ccrd 7827 This theorem is referenced by:  fin23lem27  8213  fin23lem28  8225  fin23lem30  8227  isf32lem6  8243  isf32lem7  8244  isf32lem8  8245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831
 Copyright terms: Public domain W3C validator