Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem22 Unicode version

Theorem fin23lem22 7953
 Description: Lemma for fin23 8015 but could be used elsewhere if we find a good name for it. Explicit construction of a bijection (actually an isomorphism, see fin23lem27 7954) between an infinite subset of and itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem22.b
Assertion
Ref Expression
fin23lem22
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fin23lem22
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem22.b . 2
2 fin23lem23 7952 . . 3
3 riotacl 6319 . . 3
42, 3syl 15 . 2
5 simpll 730 . . . 4
6 simpr 447 . . . 4
75, 6sseldd 3181 . . 3
8 nnfi 7053 . . 3
9 inss1 3389 . . . . 5
10 ssfi 7083 . . . . 5
119, 10mpan2 652 . . . 4
12 ficardom 7594 . . . 4
1311, 12syl 15 . . 3
147, 8, 133syl 18 . 2
15 cardnn 7596 . . . . . . 7
1615eqcomd 2288 . . . . . 6
1716eqeq1d 2291 . . . . 5
18 eqcom 2285 . . . . 5
1917, 18syl6bb 252 . . . 4
21 simpll 730 . . . . . . 7
22 simprr 733 . . . . . . 7
2321, 22sseldd 3181 . . . . . 6
24 nnon 4662 . . . . . 6
25 onenon 7582 . . . . . 6
2623, 24, 253syl 18 . . . . 5
27 ssnum 7666 . . . . 5
2826, 9, 27sylancl 643 . . . 4
29 nnon 4662 . . . . . 6
3029ad2antrl 708 . . . . 5
31 onenon 7582 . . . . 5
3230, 31syl 15 . . . 4
33 carden2 7620 . . . 4
3428, 32, 33syl2anc 642 . . 3
352adantrr 697 . . . . 5
36 ineq1 3363 . . . . . . 7
3736breq1d 4033 . . . . . 6
3837riota2 6327 . . . . 5
3922, 35, 38syl2anc 642 . . . 4
40 eqcom 2285 . . . 4
4139, 40syl6bb 252 . . 3
4220, 34, 413bitrd 270 . 2
431, 4, 14, 42f1o2d 6069 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wreu 2545   cin 3151   wss 3152   class class class wbr 4023   cmpt 4077  con0 4392  com 4656   cdm 4689  wf1o 5254  cfv 5255  crio 6297   cen 6860  cfn 6863  ccrd 7568 This theorem is referenced by:  fin23lem27  7954  fin23lem28  7966  fin23lem30  7968  isf32lem6  7984  isf32lem7  7985  isf32lem8  7986 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572
 Copyright terms: Public domain W3C validator