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Theorem fin23lem26 7967
Description: Lemma for fin23lem22 7969. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem26  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  i  e.  om )  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  i )
Distinct variable group:    i, j, S

Proof of Theorem fin23lem26
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4043 . . . 4  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( j  i^i  S ) 
~~  i  <->  ( j  i^i  S )  ~~  (/) ) )
21rexbidv 2577 . . 3  |-  ( i  =  (/)  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S ) 
~~  i  <->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S )  ~~  (/) ) )
3 breq2 4043 . . . 4  |-  ( i  =  a  ->  (
( j  i^i  S
)  ~~  i  <->  ( j  i^i  S )  ~~  a
) )
43rexbidv 2577 . . 3  |-  ( i  =  a  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  i  <->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S )  ~~  a
) )
5 breq2 4043 . . . 4  |-  ( i  =  suc  a  -> 
( ( j  i^i 
S )  ~~  i  <->  ( j  i^i  S ) 
~~  suc  a )
)
65rexbidv 2577 . . 3  |-  ( i  =  suc  a  -> 
( E. j  e.  S  ( j  i^i 
S )  ~~  i  <->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S ) 
~~  suc  a )
)
7 ordom 4681 . . . . . 6  |-  Ord  om
87a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  Ord  om )
9 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  C_  om )
10 0fin 7103 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
11 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1210, 11mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( S  =  (/)  ->  S  e. 
Fin )
1312necon3bi 2500 . . . . . 6  |-  ( -.  S  e.  Fin  ->  S  =/=  (/) )
1413adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  =/=  (/) )
15 tz7.5 4429 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  S  C_ 
om  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  ( S  i^i  j )  =  (/) )
168, 9, 14, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  E. j  e.  S  ( S  i^i  j
)  =  (/) )
17 en0 6940 . . . . . 6  |-  ( ( j  i^i  S ) 
~~  (/)  <->  ( j  i^i 
S )  =  (/) )
18 incom 3374 . . . . . . 7  |-  ( j  i^i  S )  =  ( S  i^i  j
)
1918eqeq1i 2303 . . . . . 6  |-  ( ( j  i^i  S )  =  (/)  <->  ( S  i^i  j )  =  (/) )
2017, 19bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( j  i^i  S ) 
~~  (/)  <->  ( S  i^i  j )  =  (/) )
2120rexbii 2581 . . . 4  |-  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S ) 
~~  (/)  <->  E. j  e.  S  ( S  i^i  j
)  =  (/) )
2216, 21sylibr 203 . . 3  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  (/) )
23 difss 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
\  suc  j )  C_  S
24 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  S  C_  om )
25 omsson 4676 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  C_  On
2624, 25syl6ss 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  S  C_  On )
2723, 26syl5ss 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( S  \  suc  j )  C_  On )
28 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  -.  S  e.  Fin )
29 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  om  /\  j  e.  S )  ->  j  e.  om )
30 onfin2 7068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
31 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
3230, 31eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  om  C_  Fin
33 peano2 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
3432, 33sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  Fin )
3529, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  om  /\  j  e.  S )  ->  suc  j  e.  Fin )
3635adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  suc  j  e. 
Fin )
37 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( suc  j  e.  Fin  /\  S  C_  suc  j )  ->  S  e.  Fin )
3837ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  j  e.  Fin  ->  ( S  C_  suc  j  ->  S  e.  Fin )
)
3936, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  ( S  C_ 
suc  j  ->  S  e.  Fin ) )
4028, 39mtod 168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  -.  S  C_ 
suc  j )
41 ssdif0 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  suc  j  <->  ( S  \  suc  j )  =  (/) )
4241necon3bbii 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  S  C_  suc  j  <->  ( S  \  suc  j )  =/=  (/) )
4340, 42sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  ( S  \  suc  j )  =/=  (/) )
4443ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( S  \  suc  j )  =/=  (/) )
45 onint 4602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  \  suc  j )  C_  On  /\  ( S  \  suc  j )  =/=  (/) )  ->  |^| ( S  \  suc  j )  e.  ( S  \  suc  j
) )
4627, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  |^| ( S 
\  suc  j )  e.  ( S  \  suc  j ) )
4723, 46sseldi 3191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  |^| ( S 
\  suc  j )  e.  S )
48 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( j  i^i  S )  ~~  a
)
49 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  j  e. 
_V
50 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
51 en2sn 6956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  _V  /\  a  e.  _V )  ->  { j }  ~~  { a } )
5249, 50, 51mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  { j }  ~~  { a }
5352a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  { j }  ~~  { a } )
54 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  j  e.  S )
5524, 54sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  j  e.  om )
56 nnord 4680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  om  ->  Ord  j )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  Ord  j )
58 ordirr 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  j  ->  -.  j  e.  j )
59 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  i^i  S )  C_  j
6059sseli 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( j  i^i 
S )  ->  j  e.  j )
6158, 60nsyl 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  j  ->  -.  j  e.  ( j  i^i  S
) )
62 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  i^i  S
)  i^i  { j } )  =  (/)  <->  -.  j  e.  ( j  i^i  S ) )
6361, 62sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  j  ->  ( (
j  i^i  S )  i^i  { j } )  =  (/) )
6457, 63syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( (
j  i^i  S )  i^i  { j } )  =  (/) )
65 nnord 4680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  om  ->  Ord  a )
66 ordirr 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  a  ->  -.  a  e.  a )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  om  ->  -.  a  e.  a )
68 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  i^i  { a } )  =  (/)  <->  -.  a  e.  a )
6967, 68sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  om  ->  (
a  i^i  { a } )  =  (/) )
7069ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( a  i^i  { a } )  =  (/) )
71 unen 6959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  i^i 
S )  ~~  a  /\  { j }  ~~  { a } )  /\  ( ( ( j  i^i  S )  i^i 
{ j } )  =  (/)  /\  (
a  i^i  { a } )  =  (/) ) )  ->  (
( j  i^i  S
)  u.  { j } )  ~~  (
a  u.  { a } ) )
7248, 53, 64, 70, 71syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( (
j  i^i  S )  u.  { j } ) 
~~  ( a  u. 
{ a } ) )
73 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  b  e.  S )
74 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  S  C_ 
om )
7574, 25syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  S  C_  On )
76 ordsuc 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  j  <->  Ord  suc  j )
7757, 76sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  Ord  suc  j
)
7877adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  Ord  suc  j )
79 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  S  C_  On )
8023, 79syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  ( S  \  suc  j ) 
C_  On )
81 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  -.  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  S )
82 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  -.  b  e.  suc  j )  ->  -.  b  e.  suc  j )
83 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  e.  ( S  \  suc  j )  <->  ( b  e.  S  /\  -.  b  e.  suc  j ) )
8481, 82, 83sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  -.  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  ( S  \  suc  j ) )
8584ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  ( -.  b  e.  suc  j  ->  b  e.  ( S  \  suc  j
) ) )
86 onnmin 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  \  suc  j )  C_  On  /\  b  e.  ( S 
\  suc  j )
)  ->  -.  b  e.  |^| ( S  \  suc  j ) )
8780, 85, 86ee12an 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  ( -.  b  e.  suc  j  ->  -.  b  e.  |^| ( S  \  suc  j ) ) )
8887con4d 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  ->  b  e.  suc  j ) )
8988imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  |^| ( S 
\  suc  j )
)  ->  b  e.  suc  j )
90 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  Ord  suc  j )
91 ordsucss 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Ord 
suc  j  ->  (
b  e.  suc  j  ->  suc  b  C_  suc  j ) )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  (
b  e.  suc  j  ->  suc  b  C_  suc  j ) )
9392imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  suc  b  C_  suc  j )
94 sscon 3323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc  b  C_  suc  j  -> 
( S  \  suc  j )  C_  ( S  \  suc  b ) )
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  ( S  \  suc  j )  C_  ( S  \  suc  b ) )
96 intss 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  \  suc  j
)  C_  ( S  \  suc  b )  ->  |^| ( S  \  suc  b )  C_  |^| ( S  \  suc  j ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  |^| ( S  \  suc  b )  C_  |^| ( S  \  suc  j ) )
98 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  S  C_  On )
99 ordelon 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  suc  j  /\  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  On )
10090, 99sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  On )
101 onmindif 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  On  /\  b  e.  On )  ->  b  e.  |^| ( S  \  suc  b ) )
10298, 100, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  |^| ( S  \  suc  b
) )
10397, 102sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  |^| ( S  \  suc  j
) )
10489, 103impbida 805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  <-> 
b  e.  suc  j
) )
10573, 75, 78, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  <-> 
b  e.  suc  j
) )
106 df-suc 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  suc  j  =  ( j  u. 
{ j } )
107106eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  suc  j  <->  b  e.  ( j  u.  {
j } ) )
108105, 107syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  <-> 
b  e.  ( j  u.  { j } ) ) )
109108expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( b  e.  S  ->  ( b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  <->  b  e.  ( j  u.  {
j } ) ) ) )
110109pm5.32rd 621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  /\  b  e.  S
)  <->  ( b  e.  ( j  u.  {
j } )  /\  b  e.  S )
) )
111 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( |^| ( S  \  suc  j )  i^i  S )  <->  ( b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  /\  b  e.  S ) )
112 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( ( j  u.  { j } )  i^i  S )  <-> 
( b  e.  ( j  u.  { j } )  /\  b  e.  S ) )
113110, 111, 1123bitr4g 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( b  e.  ( |^| ( S 
\  suc  j )  i^i  S )  <->  b  e.  ( ( j  u. 
{ j } )  i^i  S ) ) )
114113eqrdv 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )  =  ( ( j  u.  { j } )  i^i  S ) )
115 indir 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  u.  { j } )  i^i  S
)  =  ( ( j  i^i  S )  u.  ( { j }  i^i  S ) )
116114, 115syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )  =  ( ( j  i^i  S )  u.  ( { j }  i^i  S ) ) )
117 snssi 3775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  S  ->  { j }  C_  S )
118 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { j }  C_  S  <->  ( { j }  i^i  S )  =  { j } )
119117, 118sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  S  ->  ( { j }  i^i  S )  =  { j } )
120119uneq2d 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  S  ->  (
( j  i^i  S
)  u.  ( { j }  i^i  S
) )  =  ( ( j  i^i  S
)  u.  { j } ) )
121120ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( (
j  i^i  S )  u.  ( { j }  i^i  S ) )  =  ( ( j  i^i  S )  u. 
{ j } ) )
122116, 121eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )  =  ( ( j  i^i  S )  u. 
{ j } ) )
123 df-suc 4414 . . . . . . . . . 10  |-  suc  a  =  ( a  u. 
{ a } )
124123a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  suc  a  =  ( a  u.  {
a } ) )
12572, 122, 1243brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )  ~~  suc  a )
126 ineq1 3376 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  |^| ( S 
\  suc  j )  ->  ( b  i^i  S
)  =  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )
)
127126breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  |^| ( S 
\  suc  j )  ->  ( ( b  i^i 
S )  ~~  suc  a 
<->  ( |^| ( S 
\  suc  j )  i^i  S )  ~~  suc  a ) )
128127rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( (
|^| ( S  \  suc  j )  e.  S  /\  ( |^| ( S 
\  suc  j )  i^i  S )  ~~  suc  a )  ->  E. b  e.  S  ( b  i^i  S )  ~~  suc  a )
12947, 125, 128syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  E. b  e.  S  ( b  i^i  S )  ~~  suc  a )
130129expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  j  e.  S )  ->  (
( j  i^i  S
)  ~~  a  ->  E. b  e.  S  ( b  i^i  S ) 
~~  suc  a )
)
131130rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  a  ->  E. b  e.  S  ( b  i^i  S ) 
~~  suc  a )
)
132 ineq1 3376 . . . . . . 7  |-  ( b  =  j  ->  (
b  i^i  S )  =  ( j  i^i 
S ) )
133132breq1d 4049 . . . . . 6  |-  ( b  =  j  ->  (
( b  i^i  S
)  ~~  suc  a  <->  ( j  i^i  S )  ~~  suc  a ) )
134133cbvrexv 2778 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  S  ( b  i^i  S ) 
~~  suc  a  <->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S )  ~~  suc  a )
135131, 134syl6ib 217 . . . 4  |-  ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  a  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S ) 
~~  suc  a )
)
136135ex 423 . . 3  |-  ( a  e.  om  ->  (
( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S )  ~~  a  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  suc  a ) ) )
1372, 4, 6, 22, 136finds2 4700 . 2  |-  ( i  e.  om  ->  (
( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  i )
)
138137impcom 419 1  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  i  e.  om )  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  i )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   |^|cint 3878   class class class wbr 4039   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672    ~~ cen 6876   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  fin23lem23  7968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883
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