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Theorem fin23lem28 7966
Description: Lemma for fin23 8015. The residual is also one-to-one. This preserves the induction invariant. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P
( x  i^i  P
)  ~~  w )
)
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem28  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z, a    F, a, t    w, a, x, z, P    v, a, R, i, u    U, a, i, u, v, z    Z, a    g, a
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)    R( x, z, w, t, g)    U( x, w, t, g)    F( x, z, w, v, u, g, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem28
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.e . . 3  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
2 eqif 3598 . . 3  |-  ( Z  =  if ( P  e.  Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )  <->  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) ) )
31, 2mpbi 199 . 2  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) )
4 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( om 
\  P )  C_  om
5 ominf 7075 . . . . . . . . . 10  |-  -.  om  e.  Fin
6 fin23lem.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
7 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { v  e.  om  |  |^| ran 
U  C_  ( t `  v ) }  C_  om
86, 7eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  C_  om
9 undif 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P 
C_  om  <->  ( P  u.  ( om  \  P ) )  =  om )
108, 9mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  u.  ( om  \  P
) )  =  om
11 unfi 7124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  -> 
( P  u.  ( om  \  P ) )  e.  Fin )
1210, 11syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  om  e.  Fin )
1312ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Fin  ->  (
( om  \  P
)  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
145, 13mtoi 169 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Fin  ->  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )
15 fin23lem.d . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
1615fin23lem22 7953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om  \  P
)  C_  om  /\  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
174, 14, 16sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Fin  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
1817adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
19 f1of1 5471 . . . . . . 7  |-  ( R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
)  ->  R : om
-1-1-> ( om  \  P
) )
20 f1ss 5442 . . . . . . . 8  |-  ( ( R : om -1-1-> ( om  \  P )  /\  ( om  \  P
)  C_  om )  ->  R : om -1-1-> om )
214, 20mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( R : om -1-1-> ( om 
\  P )  ->  R : om -1-1-> om )
2218, 19, 213syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-> om )
23 f1co 5446 . . . . . 6  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  R : om -1-1-> om )  ->  ( t  o.  R ) : om -1-1-> _V )
2422, 23syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  ( t  o.  R
) : om -1-1-> _V )
25 f1eq1 5432 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ( Z : om -1-1-> _V  <->  ( t  o.  R ) : om -1-1-> _V ) )
2624, 25syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  Z : om -1-1-> _V ) )
2726impr 602 . . 3  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) ) )  ->  Z : om
-1-1-> _V )
28 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t `
 z )  e. 
_V
29 difexg 4162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t `  z )  e.  _V  ->  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U )  e.  _V
3130rgenw 2610 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  P  ( (
t `  z )  \  |^| ran  U )  e.  _V
32 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )
3332fmpt 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  P  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V  <->  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) : P --> _V )
3431, 33mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) : P --> _V
3534a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) : P --> _V )
36 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  a  ->  (
t `  z )  =  ( t `  a ) )
3736difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  =  ( ( t `  a ) 
\  |^| ran  U ) )
38 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t `
 a )  e. 
_V
39 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  a )  e.  _V  ->  (
( t `  a
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t `  a ) 
\  |^| ran  U )  e.  _V
4137, 32, 40fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  P  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  a )  =  ( ( t `  a
)  \  |^| ran  U
) )
4241ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  a )  =  ( ( t `  a
)  \  |^| ran  U
) )
43 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  b  ->  (
t `  z )  =  ( t `  b ) )
4443difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  b  ->  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  =  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U ) )
45 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t `
 b )  e. 
_V
46 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  b )  e.  _V  ->  (
( t `  b
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V )
4745, 46ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U )  e.  _V
4844, 32, 47fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  P  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  b )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
) )
4948ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  b )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
) )
5042, 49eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 b )  <->  ( (
t `  a )  \  |^| ran  U )  =  ( ( t `
 b )  \  |^| ran  U ) ) )
51 uneq2 3323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t `  a
)  \  |^| ran  U
)  =  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U )  ->  ( |^| ran  U  u.  ( ( t `
 a )  \  |^| ran  U ) )  =  ( |^| ran  U  u.  ( ( t `
 b )  \  |^| ran  U ) ) )
52 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  a  ->  (
t `  v )  =  ( t `  a ) )
5352sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  a  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  v )  <->  |^|
ran  U  C_  ( t `
 a ) ) )
5453, 6elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  P  <->  ( a  e.  om  /\  |^| ran  U 
C_  ( t `  a ) ) )
5554simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  P  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  a ) )
5655ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  a ) )
57 undif 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( |^| ran 
U  C_  ( t `  a )  <->  ( |^| ran 
U  u.  ( ( t `  a ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( t `
 a ) )
5856, 57sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  ( |^| ran  U  u.  (
( t `  a
)  \  |^| ran  U
) )  =  ( t `  a ) )
59 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  b  ->  (
t `  v )  =  ( t `  b ) )
6059sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  b  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  v )  <->  |^|
ran  U  C_  ( t `
 b ) ) )
6160, 6elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  P  <->  ( b  e.  om  /\  |^| ran  U 
C_  ( t `  b ) ) )
6261simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  P  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  b ) )
6362ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  b ) )
64 undif 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( |^| ran 
U  C_  ( t `  b )  <->  ( |^| ran 
U  u.  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( t `
 b ) )
6563, 64sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  ( |^| ran  U  u.  (
( t `  b
)  \  |^| ran  U
) )  =  ( t `  b ) )
6658, 65eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( |^| ran  U  u.  ( ( t `  a )  \  |^| ran 
U ) )  =  ( |^| ran  U  u.  ( ( t `  b )  \  |^| ran 
U ) )  <->  ( t `  a )  =  ( t `  b ) ) )
6751, 66syl5ib 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( t `  a )  \  |^| ran 
U )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
)  ->  ( t `  a )  =  ( t `  b ) ) )
688sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  P  ->  a  e.  om )
698sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  P  ->  b  e.  om )
7068, 69anim12i 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  P  /\  b  e.  P )  ->  ( a  e.  om  /\  b  e.  om )
)
71 f1fveq 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  om  /\  b  e.  om )
)  ->  ( (
t `  a )  =  ( t `  b )  <->  a  =  b ) )
7270, 71sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( t `  a
)  =  ( t `
 b )  <->  a  =  b ) )
7367, 72sylibd 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( t `  a )  \  |^| ran 
U )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
)  ->  a  =  b ) )
7450, 73sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 b )  -> 
a  =  b ) )
7574ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  (
( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 b )  -> 
a  =  b ) )
76 dff13 5783 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) : P -1-1-> _V  <->  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) : P --> _V  /\  A. a  e.  P  A. b  e.  P  ( (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  b )  ->  a  =  b ) ) )
7735, 75, 76sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) : P -1-1-> _V )
78 fin23lem.c . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P
( x  i^i  P
)  ~~  w )
)
7978fin23lem22 7953 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  C_  om  /\  -.  P  e.  Fin )  ->  Q : om -1-1-onto-> P )
80 f1of1 5471 . . . . . . . 8  |-  ( Q : om -1-1-onto-> P  ->  Q : om
-1-1-> P )
8179, 80syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( P  C_  om  /\  -.  P  e.  Fin )  ->  Q : om -1-1-> P
)
828, 81mpan 651 . . . . . 6  |-  ( -.  P  e.  Fin  ->  Q : om -1-1-> P )
83 f1co 5446 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) : P -1-1-> _V  /\  Q : om
-1-1-> P )  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) : om -1-1-> _V )
8477, 82, 83syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\ 
-.  P  e.  Fin )  ->  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) : om -1-1-> _V )
85 f1eq1 5432 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( Z : om
-1-1-> _V  <->  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) : om -1-1-> _V )
)
8684, 85syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\ 
-.  P  e.  Fin )  ->  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  Z : om -1-1-> _V )
)
8786impr 602 . . 3  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) )  ->  Z : om
-1-1-> _V )
8827, 87jaodan 760 . 2  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( ( P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R
) )  \/  ( -.  P  e.  Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
) ) ) )  ->  Z : om -1-1-> _V )
893, 88mpan2 652 1  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   iota_crio 6297  seq𝜔cseqom 6459    ^m cmap 6772    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  fin23lem32  7970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572
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