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Theorem fin23lem32 7986
Description: Lemma for fin23 8031. Wrap the previous construction into a function to hide the hypotheses. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P
( x  i^i  P
)  ~~  w )
)
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem32  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) ) )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z    a, b, i, u, t    F, a, t    w, a, x, z, P, b    v,
a, R, b, i, u    U, a, b, i, u, v, z    f,
a, Z, b    g,
a, G, b, t, f, x
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, f, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, f, g, i, a, b)    R( x, z, w, t, f, g)    U( x, w, t, f, g)    F( x, z, w, v, u, f, g, i, b)    G( z, w, v, u, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem32
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . . . . . . 8  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
2 fin23lem17.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
3 fin23lem.b . . . . . . . 8  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
4 fin23lem.c . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P
( x  i^i  P
)  ~~  w )
)
5 fin23lem.d . . . . . . . 8  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
6 fin23lem.e . . . . . . . 8  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem28 7982 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
87ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z : om -1-1-> _V )
9 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om -1-1-> _V )
10 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  G  e.  F )
11 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  U. ran  t  C_  G
)
121, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem31 7985 . . . . . . 7  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  G  e.  F  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  U. ran  Z  C.  U. ran  t )
139, 10, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  U. ran  Z  C.  U. ran  t )
14 f1fn 5454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t  Fn  om )
15 dffn3 5412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  Fn  om  <->  t : om
--> ran  t )
1614, 15sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t : om --> ran  t
)
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om --> ran  t
)
18 sspwuni 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  t  C_  ~P G  <->  U.
ran  t  C_  G
)
1918biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  t  C_  G  ->  ran  t  C_  ~P G
)
2019ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  ran  t  C_  ~P G
)
21 fss 5413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om --> ran  t  /\  ran  t  C_  ~P G )  ->  t : om --> ~P G )
2217, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om --> ~P G
)
23 pwexg 4210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  F  ->  ~P G  e.  _V )
2423adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  ~P G  e.  _V )
25 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
26 f1f 5453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t : om --> _V )
27 dmfex 5440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  _V  /\  t : om --> _V )  ->  om  e.  _V )
2825, 26, 27sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  om  e.  _V )
2928ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  om  e.  _V )
30 elmapg 6801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P G  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om ) 
<->  t : om --> ~P G
) )
3124, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( t  e.  ( ~P G  ^m  om ) 
<->  t : om --> ~P G
) )
3222, 31mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t  e.  ( ~P G  ^m  om )
)
33 f1f 5453 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z : om -1-1-> _V  ->  Z : om --> _V )
348, 33syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z : om --> _V )
35 fex 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z : om --> _V  /\  om  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
3634, 29, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z  e.  _V )
37 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
3837fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t )  =  Z )
3932, 36, 38syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z )
40 f1eq1 5448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  <->  Z : om -1-1-> _V )
)
41 rneq 4920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  =  ran  Z
)
4241unieqd 3854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  =  U. ran  Z )
4342psseq1d 3281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t  <->  U. ran  Z  C.  U.
ran  t ) )
4440, 43anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( Z : om
-1-1-> _V  /\  U. ran  Z 
C.  U. ran  t ) ) )
4539, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( Z : om
-1-1-> _V  /\  U. ran  Z 
C.  U. ran  t ) ) )
468, 13, 45mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) )
4746ex 423 . . . 4  |-  ( G  e.  F  ->  (
( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G )  ->  (
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
4847alrimiv 1621 . . 3  |-  ( G  e.  F  ->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) ) )
49 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ~P G  ^m  om )  e.  _V
5049mptex 5762 . . . 4  |-  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  e.  _V
51 nfmpt1 4125 . . . . . 6  |-  F/_ t
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
5251nfeq2 2443 . . . . 5  |-  F/ t  f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
53 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) )
54 f1eq1 5448 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  t )  =  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V  <->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V ) )
5553, 54syl 15 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V  <->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V ) )
5653rneqd 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  ->  ran  ( f `  t
)  =  ran  (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) )
5756unieqd 3854 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  ->  U. ran  ( f `  t )  =  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) )
5857psseq1d 3281 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( U. ran  (
f `  t )  C.  U. ran  t  <->  U. ran  (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) )
5955, 58anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( ( f `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
6059imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) )  <->  ( (
t : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  t  C_  G )  ->  (
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) ) )
6152, 60albid 1764 . . . 4  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( A. t ( ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G )  ->  (
( f `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( f `  t )  C.  U. ran  t ) )  <->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) ) ) )
6250, 61spcev 2888 . . 3  |-  ( A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) )  ->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
6348, 62syl 15 . 2  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
64 f1eq1 5448 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  (
b : om -1-1-> _V  <->  t : om -1-1-> _V )
)
65 rneq 4920 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  t  ->  ran  b  =  ran  t )
6665unieqd 3854 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  U. ran  b  =  U. ran  t
)
6766sseq1d 3218 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  ( U. ran  b  C_  G  <->  U.
ran  t  C_  G
) )
6864, 67anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( b  =  t  ->  (
( b : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  b  C_  G )  <->  ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G ) ) )
69 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  (
f `  b )  =  ( f `  t ) )
70 f1eq1 5448 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  b )  =  ( f `  t )  ->  (
( f `  b
) : om -1-1-> _V  <->  ( f `  t ) : om -1-1-> _V )
)
7169, 70syl 15 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  (
( f `  b
) : om -1-1-> _V  <->  ( f `  t ) : om -1-1-> _V )
)
7269rneqd 4922 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  t  ->  ran  ( f `  b
)  =  ran  (
f `  t )
)
7372unieqd 3854 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  U. ran  ( f `  b
)  =  U. ran  ( f `  t
) )
7473, 66psseq12d 3283 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  ( U. ran  ( f `  b )  C.  U. ran  b  <->  U. ran  ( f `
 t )  C.  U.
ran  t ) )
7571, 74anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( b  =  t  ->  (
( ( f `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 b )  C.  U.
ran  b )  <->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
7668, 75imbi12d 311 . . . 4  |-  ( b  =  t  ->  (
( ( b : om -1-1-> _V  /\  U. ran  b  C_  G )  -> 
( ( f `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 b )  C.  U.
ran  b ) )  <-> 
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 t )  C.  U.
ran  t ) ) ) )
7776cbvalv 1955 . . 3  |-  ( A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
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f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
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/\  U. ran  ( f `
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7877exbii 1572 . 2  |-  ( E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  b  C_  G )  ->  (
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U. ran  ( f `  b )  C.  U. ran  b ) )  <->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
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7963, 78sylibr 203 1  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165    C. wpss 3166   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|cint 3878   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   suc csuc 4410   omcom 4672   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   iota_crio 6313  seq𝜔cseqom 6475    ^m cmap 6788    ~~ cen 6876   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  fin23lem33  7987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588
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