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Theorem fin23lem34 7972
Description: Lemma for fin23 8015. Establish induction invariants on  Y which parameterizes our contradictory chain of subsets. In this section,  h is the hypothetically assumed family of subsets,  g is the ground set, and  i is the induction function constructed in the previous section. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem34  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    F, a    ph, a, j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem34
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( Y `
 a )  =  ( Y `  (/) ) )
2 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  (/) )  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V ) )
41rneqd 4906 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `  (/) ) )
54unieqd 3838 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  (/) ) )
65sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. ran  ( Y `  a
)  C_  G  <->  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G ) )
73, 6anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( Y `  a
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  a )  C_  G
)  <->  ( ( Y `
 (/) ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 (/) )  C_  G
) ) )
87imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( ( Y `
 a ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  G ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G ) ) ) )
9 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  b ) )
10 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  b )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
129rneqd 4906 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 b ) )
1312unieqd 3838 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
1413sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
) )
1511, 14anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 a )  C_  G )  <->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) ) )
1615imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 b )  C_  G ) ) ) )
17 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( Y `  a
)  =  ( Y `
 suc  b )
)
18 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  suc  b )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  suc  b
) : om -1-1-> _V ) )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  suc  b
) : om -1-1-> _V ) )
2017rneqd 4906 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  ->  ran  ( Y `  a
)  =  ran  ( Y `  suc  b ) )
2120unieqd 3838 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  suc  b ) )
2221sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G ) )
2319, 22anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ( Y `
 a ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  G )  <->  ( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  suc  b )  C_  G
) ) )
2423imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ph  ->  ( ( Y `  a
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G ) ) ) )
25 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  A ) )
26 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  A )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
2725, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
2825rneqd 4906 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 A ) )
2928unieqd 3838 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  A )
)
3029sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  G
) )
3127, 30anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 a )  C_  G )  <->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) ) )
3231imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 A )  C_  G ) ) ) )
33 fin23lem.f . . . 4  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
34 fin23lem.g . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
35 fin23lem.i . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
3635fveq1i 5526 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 (/) )  =  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )
37 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
38 fr0g 6448 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  _V  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )  =  h )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )  =  h
4036, 39eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( Y `
 (/) )  =  h
41 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  (/) )  =  h  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  <->  h : om -1-1-> _V ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  <->  h : om -1-1-> _V )
4340rneqi 4905 . . . . . . 7  |-  ran  ( Y `  (/) )  =  ran  h
4443unieqi 3837 . . . . . 6  |-  U. ran  ( Y `  (/) )  = 
U. ran  h
4544sseq1i 3202 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G 
<-> 
U. ran  h  C_  G
)
4642, 45anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G )  <->  ( h : om -1-1-> _V  /\  U. ran  h  C_  G ) )
4733, 34, 46sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G
) )
48 fin23lem.h . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
49 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y `
 b )  e. 
_V
50 f1eq1 5432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
j : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
51 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ran  j  =  ran  ( Y `
 b ) )
5251unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  U. ran  j  =  U. ran  ( Y `  b )
)
5352sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  j  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
) )
5450, 53anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( j : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  j  C_  G )  <->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) ) )
55 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
i `  j )  =  ( i `  ( Y `  b ) ) )
56 f1eq1 5432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i `  j )  =  ( i `  ( Y `  b ) )  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V ) )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V )
)
5855rneqd 4906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ran  ( i `  j
)  =  ran  (
i `  ( Y `  b ) ) )
5958unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `  j
)  =  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
6059, 52psseq12d 3270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j  <->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
6157, 60anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j )  <->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )
) ) )
6254, 61imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( ( j : om -1-1-> _V  /\  U. ran  j  C_  G )  -> 
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j ) )  <-> 
( ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) ) )
6349, 62spcv 2874 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  j  C_  G
)  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  j
)  C.  U. ran  j
) )  ->  (
( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 b )  C_  G )  ->  (
( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) )
6448, 63syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) )
6564imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )
) )
66 pssss 3271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  b ) )
67 sstr 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  b )  /\  U. ran  ( Y `  b
)  C_  G )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  G )
6866, 67sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b )  /\  U. ran  ( Y `  b
)  C_  G )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  G )
6968expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  ( Y `  b
)  C_  G  ->  ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
7069anim2d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( Y `  b
)  C_  G  ->  ( ( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) )  ->  (
( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C_  G
) ) )
7170ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( i `  ( Y `  b ) )  C.  U. ran  ( Y `  b ) )  ->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
) )
7265, 71mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
73723adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  om  /\  ph 
/\  ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
74 frsuc 6449 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  suc  b
)  =  ( i `
 ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  b ) ) )
7535fveq1i 5526 . . . . . . . . 9  |-  ( Y `
 suc  b )  =  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  b )
7635fveq1i 5526 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y `
 b )  =  ( ( rec (
i ,  h )  |`  om ) `  b
)
7776fveq2i 5528 . . . . . . . . 9  |-  ( i `
 ( Y `  b ) )  =  ( i `  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  b ) )
7874, 75, 773eqtr4g 2340 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( Y `  suc  b )  =  ( i `  ( Y `  b ) ) )
79 f1eq1 5432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V )
)
80 rneq 4904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  ->  ran  ( Y `  suc  b )  =  ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
8180unieqd 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  =  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
8281sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C_  G  <->  U. ran  (
i `  ( Y `  b ) )  C_  G ) )
8379, 82anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( ( ( Y `
 suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  G )  <->  ( ( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C_  G
) ) )
8478, 83syl 15 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G )  <->  ( (
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U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  G )  <->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
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( ph  ->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690    |` cres 4691   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  fin23lem35  7973  fin23lem39  7976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
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