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Theorem fin23lem34 8119
Description: Lemma for fin23 8162. Establish induction invariants on  Y which parameterizes our contradictory chain of subsets. In this section,  h is the hypothetically assumed family of subsets,  g is the ground set, and  i is the induction function constructed in the previous section. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem34  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    F, a    ph, a, j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem34
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5632 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( Y `
 a )  =  ( Y `  (/) ) )
2 f1eq1 5538 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  (/) )  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V ) )
41rneqd 5009 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `  (/) ) )
54unieqd 3940 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  (/) ) )
65sseq1d 3291 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. ran  ( Y `  a
)  C_  G  <->  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G ) )
73, 6anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( Y `  a
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  a )  C_  G
)  <->  ( ( Y `
 (/) ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 (/) )  C_  G
) ) )
87imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( ( Y `
 a ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  G ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G ) ) ) )
9 fveq2 5632 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  b ) )
10 f1eq1 5538 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  b )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
129rneqd 5009 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 b ) )
1312unieqd 3940 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
1413sseq1d 3291 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
) )
1511, 14anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 a )  C_  G )  <->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) ) )
1615imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 b )  C_  G ) ) ) )
17 fveq2 5632 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( Y `  a
)  =  ( Y `
 suc  b )
)
18 f1eq1 5538 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  suc  b )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  suc  b
) : om -1-1-> _V ) )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  suc  b
) : om -1-1-> _V ) )
2017rneqd 5009 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  ->  ran  ( Y `  a
)  =  ran  ( Y `  suc  b ) )
2120unieqd 3940 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  suc  b ) )
2221sseq1d 3291 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G ) )
2319, 22anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ( Y `
 a ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  G )  <->  ( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  suc  b )  C_  G
) ) )
2423imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ph  ->  ( ( Y `  a
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G ) ) ) )
25 fveq2 5632 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  A ) )
26 f1eq1 5538 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  A )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
2725, 26syl 15 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
2825rneqd 5009 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 A ) )
2928unieqd 3940 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  A )
)
3029sseq1d 3291 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  G
) )
3127, 30anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 a )  C_  G )  <->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) ) )
3231imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 A )  C_  G ) ) ) )
33 fin23lem.f . . . 4  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
34 fin23lem.g . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
35 fin23lem.i . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
3635fveq1i 5633 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 (/) )  =  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )
37 vex 2876 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
38 fr0g 6590 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  _V  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )  =  h )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )  =  h
4036, 39eqtri 2386 . . . . . 6  |-  ( Y `
 (/) )  =  h
41 f1eq1 5538 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  (/) )  =  h  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  <->  h : om -1-1-> _V ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  <->  h : om -1-1-> _V )
4340rneqi 5008 . . . . . . 7  |-  ran  ( Y `  (/) )  =  ran  h
4443unieqi 3939 . . . . . 6  |-  U. ran  ( Y `  (/) )  = 
U. ran  h
4544sseq1i 3288 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G 
<-> 
U. ran  h  C_  G
)
4642, 45anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G )  <->  ( h : om -1-1-> _V  /\  U. ran  h  C_  G ) )
4733, 34, 46sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G
) )
48 fin23lem.h . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
49 fvex 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y `
 b )  e. 
_V
50 f1eq1 5538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
j : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
51 rneq 5007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ran  j  =  ran  ( Y `
 b ) )
5251unieqd 3940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  U. ran  j  =  U. ran  ( Y `  b )
)
5352sseq1d 3291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  j  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
) )
5450, 53anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( j : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  j  C_  G )  <->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) ) )
55 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
i `  j )  =  ( i `  ( Y `  b ) ) )
56 f1eq1 5538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i `  j )  =  ( i `  ( Y `  b ) )  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V ) )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V )
)
5855rneqd 5009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ran  ( i `  j
)  =  ran  (
i `  ( Y `  b ) ) )
5958unieqd 3940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `  j
)  =  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
6059, 52psseq12d 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j  <->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
6157, 60anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j )  <->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )
) ) )
6254, 61imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( ( j : om -1-1-> _V  /\  U. ran  j  C_  G )  -> 
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j ) )  <-> 
( ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) ) )
6349, 62spcv 2959 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  j  C_  G
)  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  j
)  C.  U. ran  j
) )  ->  (
( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 b )  C_  G )  ->  (
( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) )
6448, 63syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) )
6564imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )
) )
66 pssss 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  b ) )
67 sstr 3273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  b )  /\  U. ran  ( Y `  b
)  C_  G )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  G )
6866, 67sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b )  /\  U. ran  ( Y `  b
)  C_  G )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  G )
6968expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  ( Y `  b
)  C_  G  ->  ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
7069anim2d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( Y `  b
)  C_  G  ->  ( ( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) )  ->  (
( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C_  G
) ) )
7170ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( i `  ( Y `  b ) )  C.  U. ran  ( Y `  b ) )  ->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
) )
7265, 71mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
73723adant1 974 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  om  /\  ph 
/\  ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
74 frsuc 6591 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  suc  b
)  =  ( i `
 ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  b ) ) )
7535fveq1i 5633 . . . . . . . . 9  |-  ( Y `
 suc  b )  =  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  b )
7635fveq1i 5633 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y `
 b )  =  ( ( rec (
i ,  h )  |`  om ) `  b
)
7776fveq2i 5635 . . . . . . . . 9  |-  ( i `
 ( Y `  b ) )  =  ( i `  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  b ) )
7874, 75, 773eqtr4g 2423 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( Y `  suc  b )  =  ( i `  ( Y `  b ) ) )
79 f1eq1 5538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V )
)
80 rneq 5007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  ->  ran  ( Y `  suc  b )  =  ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
8180unieqd 3940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  =  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
8281sseq1d 3291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C_  G  <->  U. ran  (
i `  ( Y `  b ) )  C_  G ) )
8379, 82anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( ( ( Y `
 suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  G )  <->  ( ( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C_  G
) ) )
8478, 83syl 15 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G )  <->  ( (
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U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  G )  <->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
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( ph  ->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
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ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935   A.wal 1545    = wceq 1647    e. wcel 1715   {cab 2352   A.wral 2628   _Vcvv 2873    C_ wss 3238    C. wpss 3239   (/)c0 3543   ~Pcpw 3714   U.cuni 3929   |^|cint 3964   suc csuc 4497   omcom 4759   ran crn 4793    |` cres 4794   -1-1->wf1 5355   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   reccrdg 6564    ^m cmap 6915
This theorem is referenced by:  fin23lem35  8120  fin23lem39  8123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-recs 6530  df-rdg 6565
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