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Theorem fin23lem34 8231
 Description: Lemma for fin23 8274. Establish induction invariants on which parameterizes our contradictory chain of subsets. In this section, is the hypothetically assumed family of subsets, is the ground set, and is the induction function constructed in the previous section. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f
fin23lem.f
fin23lem.g
fin23lem.h
fin23lem.i
Assertion
Ref Expression
fin23lem34
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem fin23lem34
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5731 . . . . . 6
2 f1eq1 5637 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
41rneqd 5100 . . . . . . 7
54unieqd 4028 . . . . . 6
65sseq1d 3377 . . . . 5
73, 6anbi12d 693 . . . 4
87imbi2d 309 . . 3
9 fveq2 5731 . . . . . 6
10 f1eq1 5637 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
129rneqd 5100 . . . . . . 7
1312unieqd 4028 . . . . . 6
1413sseq1d 3377 . . . . 5
1511, 14anbi12d 693 . . . 4
1615imbi2d 309 . . 3
17 fveq2 5731 . . . . . 6
18 f1eq1 5637 . . . . . 6
1917, 18syl 16 . . . . 5
2017rneqd 5100 . . . . . . 7
2120unieqd 4028 . . . . . 6
2221sseq1d 3377 . . . . 5
2319, 22anbi12d 693 . . . 4
2423imbi2d 309 . . 3
25 fveq2 5731 . . . . . 6
26 f1eq1 5637 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
2825rneqd 5100 . . . . . . 7
2928unieqd 4028 . . . . . 6
3029sseq1d 3377 . . . . 5
3127, 30anbi12d 693 . . . 4
3231imbi2d 309 . . 3
33 fin23lem.f . . . 4
34 fin23lem.g . . . 4
35 fin23lem.i . . . . . . . 8
3635fveq1i 5732 . . . . . . 7
37 vex 2961 . . . . . . . 8
38 fr0g 6696 . . . . . . . 8
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7
4036, 39eqtri 2458 . . . . . 6
41 f1eq1 5637 . . . . . 6
4240, 41ax-mp 5 . . . . 5
4340rneqi 5099 . . . . . . 7
4443unieqi 4027 . . . . . 6
4544sseq1i 3374 . . . . 5
4642, 45anbi12i 680 . . . 4
4733, 34, 46sylanbrc 647 . . 3
48 fin23lem.h . . . . . . . . . 10
49 fvex 5745 . . . . . . . . . . 11
50 f1eq1 5637 . . . . . . . . . . . . 13
51 rneq 5098 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251unieqd 4028 . . . . . . . . . . . . . 14
5352sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . 13
5450, 53anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12
55 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14
56 f1eq1 5637 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5855rneqd 5100 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958unieqd 4028 . . . . . . . . . . . . . 14
6059, 52psseq12d 3443 . . . . . . . . . . . . 13
6157, 60anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12
6254, 61imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11
6349, 62spcv 3044 . . . . . . . . . 10
6448, 63syl 16 . . . . . . . . 9
6564imp 420 . . . . . . . 8
66 pssss 3444 . . . . . . . . . . . 12
67 sstr 3358 . . . . . . . . . . . 12
6866, 67sylan 459 . . . . . . . . . . 11
6968expcom 426 . . . . . . . . . 10
7069anim2d 550 . . . . . . . . 9
7170ad2antll 711 . . . . . . . 8
7265, 71mpd 15 . . . . . . 7
73723adant1 976 . . . . . 6
74 frsuc 6697 . . . . . . . . 9
7535fveq1i 5732 . . . . . . . . 9
7635fveq1i 5732 . . . . . . . . . 10
7776fveq2i 5734 . . . . . . . . 9
7874, 75, 773eqtr4g 2495 . . . . . . . 8
79 f1eq1 5637 . . . . . . . . 9
80 rneq 5098 . . . . . . . . . . 11
8180unieqd 4028 . . . . . . . . . 10
8281sseq1d 3377 . . . . . . . . 9
8379, 82anbi12d 693 . . . . . . . 8
8478, 83syl 16 . . . . . . 7
85843ad2ant1 979 . . . . . 6
8673, 85mpbird 225 . . . . 5
87863exp 1153 . . . 4
8887a2d 25 . . 3
898, 16, 24, 32, 47, 88finds 4874 . 2
9089impcom 421 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wal 1550   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wral 2707  cvv 2958   wss 3322   wpss 3323  c0 3630  cpw 3801  cuni 4017  cint 4052   csuc 4586  com 4848   crn 4882   cres 4883  wf1 5454  cfv 5457  (class class class)co 6084  crdg 6670   cmap 7021 This theorem is referenced by:  fin23lem35  8232  fin23lem39  8235 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671
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