MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem34 Structured version   Unicode version

Theorem fin23lem34 8231
Description: Lemma for fin23 8274. Establish induction invariants on  Y which parameterizes our contradictory chain of subsets. In this section,  h is the hypothetically assumed family of subsets,  g is the ground set, and  i is the induction function constructed in the previous section. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem34  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    F, a    ph, a, j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem34
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( Y `
 a )  =  ( Y `  (/) ) )
2 f1eq1 5637 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  (/) )  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V ) )
41rneqd 5100 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `  (/) ) )
54unieqd 4028 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  (/) ) )
65sseq1d 3377 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. ran  ( Y `  a
)  C_  G  <->  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G ) )
73, 6anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( Y `  a
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  a )  C_  G
)  <->  ( ( Y `
 (/) ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 (/) )  C_  G
) ) )
87imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( ( Y `
 a ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  G ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G ) ) ) )
9 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  b ) )
10 f1eq1 5637 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  b )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
129rneqd 5100 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 b ) )
1312unieqd 4028 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
1413sseq1d 3377 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
) )
1511, 14anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 a )  C_  G )  <->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) ) )
1615imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 b )  C_  G ) ) ) )
17 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( Y `  a
)  =  ( Y `
 suc  b )
)
18 f1eq1 5637 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  suc  b )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  suc  b
) : om -1-1-> _V ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  suc  b
) : om -1-1-> _V ) )
2017rneqd 5100 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  ->  ran  ( Y `  a
)  =  ran  ( Y `  suc  b ) )
2120unieqd 4028 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  suc  b ) )
2221sseq1d 3377 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G ) )
2319, 22anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ( Y `
 a ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  G )  <->  ( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  suc  b )  C_  G
) ) )
2423imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ph  ->  ( ( Y `  a
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G ) ) ) )
25 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  A ) )
26 f1eq1 5637 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  A )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
2825rneqd 5100 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 A ) )
2928unieqd 4028 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  A )
)
3029sseq1d 3377 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  G
) )
3127, 30anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 a )  C_  G )  <->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) ) )
3231imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 A )  C_  G ) ) ) )
33 fin23lem.f . . . 4  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
34 fin23lem.g . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
35 fin23lem.i . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
3635fveq1i 5732 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 (/) )  =  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )
37 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
38 fr0g 6696 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  _V  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )  =  h )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )  =  h
4036, 39eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( Y `
 (/) )  =  h
41 f1eq1 5637 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  (/) )  =  h  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  <->  h : om -1-1-> _V ) )
4240, 41ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  <->  h : om -1-1-> _V )
4340rneqi 5099 . . . . . . 7  |-  ran  ( Y `  (/) )  =  ran  h
4443unieqi 4027 . . . . . 6  |-  U. ran  ( Y `  (/) )  = 
U. ran  h
4544sseq1i 3374 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G 
<-> 
U. ran  h  C_  G
)
4642, 45anbi12i 680 . . . 4  |-  ( ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G )  <->  ( h : om -1-1-> _V  /\  U. ran  h  C_  G ) )
4733, 34, 46sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G
) )
48 fin23lem.h . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
49 fvex 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y `
 b )  e. 
_V
50 f1eq1 5637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
j : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
51 rneq 5098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ran  j  =  ran  ( Y `
 b ) )
5251unieqd 4028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  U. ran  j  =  U. ran  ( Y `  b )
)
5352sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  j  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
) )
5450, 53anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( j : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  j  C_  G )  <->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) ) )
55 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
i `  j )  =  ( i `  ( Y `  b ) ) )
56 f1eq1 5637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i `  j )  =  ( i `  ( Y `  b ) )  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V )
)
5855rneqd 5100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ran  ( i `  j
)  =  ran  (
i `  ( Y `  b ) ) )
5958unieqd 4028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `  j
)  =  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
6059, 52psseq12d 3443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j  <->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
6157, 60anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j )  <->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )
) ) )
6254, 61imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( ( j : om -1-1-> _V  /\  U. ran  j  C_  G )  -> 
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j ) )  <-> 
( ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) ) )
6349, 62spcv 3044 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  j  C_  G
)  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  j
)  C.  U. ran  j
) )  ->  (
( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 b )  C_  G )  ->  (
( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) )
6448, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) )
6564imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )
) )
66 pssss 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  b ) )
67 sstr 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  b )  /\  U. ran  ( Y `  b
)  C_  G )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  G )
6866, 67sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b )  /\  U. ran  ( Y `  b
)  C_  G )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  G )
6968expcom 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  ( Y `  b
)  C_  G  ->  ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
7069anim2d 550 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( Y `  b
)  C_  G  ->  ( ( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) )  ->  (
( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C_  G
) ) )
7170ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( i `  ( Y `  b ) )  C.  U. ran  ( Y `  b ) )  ->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
) )
7265, 71mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
73723adant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  om  /\  ph 
/\  ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
74 frsuc 6697 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  suc  b
)  =  ( i `
 ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  b ) ) )
7535fveq1i 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( Y `
 suc  b )  =  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  b )
7635fveq1i 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y `
 b )  =  ( ( rec (
i ,  h )  |`  om ) `  b
)
7776fveq2i 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( i `
 ( Y `  b ) )  =  ( i `  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  b ) )
7874, 75, 773eqtr4g 2495 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( Y `  suc  b )  =  ( i `  ( Y `  b ) ) )
79 f1eq1 5637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V )
)
80 rneq 5098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  ->  ran  ( Y `  suc  b )  =  ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
8180unieqd 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  =  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
8281sseq1d 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C_  G  <->  U. ran  (
i `  ( Y `  b ) )  C_  G ) )
8379, 82anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( ( ( Y `
 suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  G )  <->  ( ( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C_  G
) ) )
8478, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G )  <->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
) )
85843ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  om  /\  ph 
/\  ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( ( Y `  suc  b
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  G )  <->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
) )
8673, 85mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ph 
/\  ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( Y `
 suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  G )
)
87863exp 1153 . . . 4  |-  ( b  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
)  ->  ( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  suc  b )  C_  G
) ) ) )
8887a2d 25 . . 3  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
) )  ->  ( ph  ->  ( ( Y `
 suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  G )
) ) )
898, 16, 24, 32, 47, 88finds 4874 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( Y `
 A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) ) )
9089impcom 421 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   |^|cint 4052   suc csuc 4586   omcom 4848   ran crn 4882    |` cres 4883   -1-1->wf1 5454   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   reccrdg 6670    ^m cmap 7021
This theorem is referenced by:  fin23lem35  8232  fin23lem39  8235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671
  Copyright terms: Public domain W3C validator