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Theorem fin23lem34 8186
Description: Lemma for fin23 8229. Establish induction invariants on  Y which parameterizes our contradictory chain of subsets. In this section,  h is the hypothetically assumed family of subsets,  g is the ground set, and  i is the induction function constructed in the previous section. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem34  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    F, a    ph, a, j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem34
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( Y `
 a )  =  ( Y `  (/) ) )
2 f1eq1 5597 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  (/) )  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V ) )
41rneqd 5060 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `  (/) ) )
54unieqd 3990 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  (/) ) )
65sseq1d 3339 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. ran  ( Y `  a
)  C_  G  <->  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G ) )
73, 6anbi12d 692 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( Y `  a
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  a )  C_  G
)  <->  ( ( Y `
 (/) ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 (/) )  C_  G
) ) )
87imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( ( Y `
 a ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  G ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G ) ) ) )
9 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  b ) )
10 f1eq1 5597 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  b )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
129rneqd 5060 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 b ) )
1312unieqd 3990 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
1413sseq1d 3339 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
) )
1511, 14anbi12d 692 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 a )  C_  G )  <->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) ) )
1615imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 b )  C_  G ) ) ) )
17 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( Y `  a
)  =  ( Y `
 suc  b )
)
18 f1eq1 5597 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  suc  b )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  suc  b
) : om -1-1-> _V ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  suc  b
) : om -1-1-> _V ) )
2017rneqd 5060 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  ->  ran  ( Y `  a
)  =  ran  ( Y `  suc  b ) )
2120unieqd 3990 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  suc  b ) )
2221sseq1d 3339 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G ) )
2319, 22anbi12d 692 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ( Y `
 a ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  G )  <->  ( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  suc  b )  C_  G
) ) )
2423imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ph  ->  ( ( Y `  a
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G ) ) ) )
25 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  A ) )
26 f1eq1 5597 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  a )  =  ( Y `  A )  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( Y `  a
) : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
2825rneqd 5060 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 A ) )
2928unieqd 3990 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  A )
)
3029sseq1d 3339 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  G
) )
3127, 30anbi12d 692 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 a )  C_  G )  <->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) ) )
3231imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  ->  ( ( Y `  a ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( Y `  a )  C_  G
) )  <->  ( ph  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 A )  C_  G ) ) ) )
33 fin23lem.f . . . 4  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
34 fin23lem.g . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
35 fin23lem.i . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
3635fveq1i 5692 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 (/) )  =  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )
37 vex 2923 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
38 fr0g 6656 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  _V  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )  =  h )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  (/) )  =  h
4036, 39eqtri 2428 . . . . . 6  |-  ( Y `
 (/) )  =  h
41 f1eq1 5597 . . . . . 6  |-  ( ( Y `  (/) )  =  h  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  <->  h : om -1-1-> _V ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  <->  h : om -1-1-> _V )
4340rneqi 5059 . . . . . . 7  |-  ran  ( Y `  (/) )  =  ran  h
4443unieqi 3989 . . . . . 6  |-  U. ran  ( Y `  (/) )  = 
U. ran  h
4544sseq1i 3336 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G 
<-> 
U. ran  h  C_  G
)
4642, 45anbi12i 679 . . . 4  |-  ( ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G )  <->  ( h : om -1-1-> _V  /\  U. ran  h  C_  G ) )
4733, 34, 46sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y `  (/) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  (/) )  C_  G
) )
48 fin23lem.h . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
49 fvex 5705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y `
 b )  e. 
_V
50 f1eq1 5597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
j : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  b ) : om -1-1-> _V )
)
51 rneq 5058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ran  j  =  ran  ( Y `
 b ) )
5251unieqd 3990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  U. ran  j  =  U. ran  ( Y `  b )
)
5352sseq1d 3339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  j  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  b )  C_  G
) )
5450, 53anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( j : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  j  C_  G )  <->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) ) )
55 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
i `  j )  =  ( i `  ( Y `  b ) ) )
56 f1eq1 5597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i `  j )  =  ( i `  ( Y `  b ) )  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V )
)
5855rneqd 5060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ran  ( i `  j
)  =  ran  (
i `  ( Y `  b ) ) )
5958unieqd 3990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `  j
)  =  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
6059, 52psseq12d 3405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j  <->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
6157, 60anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j )  <->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )
) ) )
6254, 61imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  b )  ->  (
( ( j : om -1-1-> _V  /\  U. ran  j  C_  G )  -> 
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j ) )  <-> 
( ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) ) )
6349, 62spcv 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  j  C_  G
)  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  j
)  C.  U. ran  j
) )  ->  (
( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 b )  C_  G )  ->  (
( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) )
6448, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) ) ) )
6564imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )
) )
66 pssss 3406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C.  U. ran  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  b ) )
67 sstr 3320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  b )  /\  U. ran  ( Y `  b
)  C_  G )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  G )
6866, 67sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b )  /\  U. ran  ( Y `  b
)  C_  G )  ->  U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C_  G )
6968expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  ( Y `  b
)  C_  G  ->  ( U. ran  ( i `
 ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  b )  ->  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
7069anim2d 549 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( Y `  b
)  C_  G  ->  ( ( ( i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C.  U. ran  ( Y `  b
) )  ->  (
( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C_  G
) ) )
7170ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  ( i `  ( Y `  b ) )  C.  U. ran  ( Y `  b ) )  ->  ( (
i `  ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
) )
7265, 71mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
73723adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  om  /\  ph 
/\  ( ( Y `
 b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  G ) )  ->  ( ( i `
 ( Y `  b ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
)  C_  G )
)
74 frsuc 6657 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  suc  b
)  =  ( i `
 ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  b ) ) )
7535fveq1i 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( Y `
 suc  b )  =  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  b )
7635fveq1i 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y `
 b )  =  ( ( rec (
i ,  h )  |`  om ) `  b
)
7776fveq2i 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( i `
 ( Y `  b ) )  =  ( i `  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  b ) )
7874, 75, 773eqtr4g 2465 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( Y `  suc  b )  =  ( i `  ( Y `  b ) ) )
79 f1eq1 5597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 b ) ) : om -1-1-> _V )
)
80 rneq 5058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  ->  ran  ( Y `  suc  b )  =  ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
8180unieqd 3990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  =  U. ran  ( i `  ( Y `  b )
) )
8281sseq1d 3339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C_  G  <->  U. ran  (
i `  ( Y `  b ) )  C_  G ) )
8379, 82anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y `  suc  b
)  =  ( i `
 ( Y `  b ) )  -> 
( ( ( Y `
 suc  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  G )  <->  ( ( i `  ( Y `  b )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  b
) )  C_  G
) ) )
8478, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ( Y `  suc  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 suc  b )  C_  G )  <->  ( (
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U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  G )  <->  ( (
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( ph  ->  ( ( Y `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U.
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2394   A.wral 2670   _Vcvv 2920    C_ wss 3284    C. wpss 3285   (/)c0 3592   ~Pcpw 3763   U.cuni 3979   |^|cint 4014   suc csuc 4547   omcom 4808   ran crn 4842    |` cres 4843   -1-1->wf1 5414   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   reccrdg 6630    ^m cmap 6981
This theorem is referenced by:  fin23lem35  8187  fin23lem39  8190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-recs 6596  df-rdg 6631
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