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Theorem fin23lem35 7989
Description: Lemma for fin23 8031. Strict order property of  Y. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem35  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A ) 
C.  U. ran  ( Y `
 A ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    F, a    ph, a, j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem35
StepHypRef Expression
1 fin23lem33.f . . . . 5  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
2 fin23lem.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
3 fin23lem.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
4 fin23lem.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
5 fin23lem.i . . . . 5  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
61, 2, 3, 4, 5fin23lem34 7988 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) )
7 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 A )  e. 
_V
8 f1eq1 5448 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
j : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
9 rneq 4920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ran  j  =  ran  ( Y `
 A ) )
109unieqd 3854 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  U. ran  j  =  U. ran  ( Y `  A )
)
1110sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ( U. ran  j  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  G
) )
128, 11anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( j : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  j  C_  G )  <->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) ) )
13 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
i `  j )  =  ( i `  ( Y `  A ) ) )
14 f1eq1 5448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i `  j )  =  ( i `  ( Y `  A ) )  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V ) )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 A ) ) : om -1-1-> _V )
)
1613rneqd 4922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ran  ( i `  j
)  =  ran  (
i `  ( Y `  A ) ) )
1716unieqd 3854 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  U. ran  ( i `  j
)  =  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
) )
1817, 10psseq12d 3283 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ( U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j  <->  U. ran  ( i `
 ( Y `  A ) )  C.  U.
ran  ( Y `  A ) ) )
1915, 18anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j )  <->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) ) )
2012, 19imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( ( j : om -1-1-> _V  /\  U. ran  j  C_  G )  -> 
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j ) )  <-> 
( ( ( Y `
 A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A
) ) ) ) )
217, 20spcv 2887 . . . . . 6  |-  ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  j  C_  G
)  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  j
)  C.  U. ran  j
) )  ->  (
( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 A )  C_  G )  ->  (
( i `  ( Y `  A )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A
) ) ) )
224, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y `
 A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A
) ) ) )
2322adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( Y `  A
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  A )  C_  G
)  ->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) ) )
246, 23mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) )
2524simprd 449 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  (
i `  ( Y `  A ) )  C.  U.
ran  ( Y `  A ) )
26 frsuc 6465 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  suc  A
)  =  ( i `
 ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  A ) ) )
2726adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  A )  =  ( i `  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  A ) ) )
285fveq1i 5542 . . . . . 6  |-  ( Y `
 suc  A )  =  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  A )
295fveq1i 5542 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 A )  =  ( ( rec (
i ,  h )  |`  om ) `  A
)
3029fveq2i 5544 . . . . . 6  |-  ( i `
 ( Y `  A ) )  =  ( i `  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  A ) )
3127, 28, 303eqtr4g 2353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( Y `  suc  A )  =  ( i `  ( Y `  A )
) )
3231rneqd 4922 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ran  ( Y `
 suc  A )  =  ran  ( i `  ( Y `  A ) ) )
3332unieqd 3854 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A )  =  U. ran  (
i `  ( Y `  A ) ) )
3433psseq1d 3281 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( U. ran  ( Y `  suc  A )  C.  U. ran  ( Y `  A )  <->  U. ran  ( i `  ( Y `  A ) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) )
3525, 34mpbird 223 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A ) 
C.  U. ran  ( Y `
 A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    C. wpss 3166   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|cint 3878   suc csuc 4410   omcom 4672   ran crn 4706    |` cres 4707   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   reccrdg 6438    ^m cmap 6788
This theorem is referenced by:  fin23lem36  7990  fin23lem38  7991  fin23lem39  7992
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439
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