MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem35 Structured version   Unicode version

Theorem fin23lem35 8227
Description: Lemma for fin23 8269. Strict order property of  Y. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem35  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A ) 
C.  U. ran  ( Y `
 A ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    F, a    ph, a, j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem35
StepHypRef Expression
1 fin23lem33.f . . . . 5  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
2 fin23lem.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
3 fin23lem.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
4 fin23lem.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
5 fin23lem.i . . . . 5  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
61, 2, 3, 4, 5fin23lem34 8226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) )
7 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 A )  e. 
_V
8 f1eq1 5634 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
j : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
9 rneq 5095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ran  j  =  ran  ( Y `
 A ) )
109unieqd 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  U. ran  j  =  U. ran  ( Y `  A )
)
1110sseq1d 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ( U. ran  j  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  G
) )
128, 11anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( j : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  j  C_  G )  <->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) ) )
13 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
i `  j )  =  ( i `  ( Y `  A ) ) )
14 f1eq1 5634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i `  j )  =  ( i `  ( Y `  A ) )  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 A ) ) : om -1-1-> _V )
)
1613rneqd 5097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ran  ( i `  j
)  =  ran  (
i `  ( Y `  A ) ) )
1716unieqd 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  U. ran  ( i `  j
)  =  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
) )
1817, 10psseq12d 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ( U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j  <->  U. ran  ( i `
 ( Y `  A ) )  C.  U.
ran  ( Y `  A ) ) )
1915, 18anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j )  <->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) ) )
2012, 19imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( ( j : om -1-1-> _V  /\  U. ran  j  C_  G )  -> 
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j ) )  <-> 
( ( ( Y `
 A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A
) ) ) ) )
217, 20spcv 3042 . . . . . 6  |-  ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  j  C_  G
)  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  j
)  C.  U. ran  j
) )  ->  (
( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 A )  C_  G )  ->  (
( i `  ( Y `  A )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A
) ) ) )
224, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y `
 A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A
) ) ) )
2322adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( Y `  A
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  A )  C_  G
)  ->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) ) )
246, 23mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) )
2524simprd 450 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  (
i `  ( Y `  A ) )  C.  U.
ran  ( Y `  A ) )
26 frsuc 6694 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  suc  A
)  =  ( i `
 ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  A ) ) )
2726adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  A )  =  ( i `  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  A ) ) )
285fveq1i 5729 . . . . . 6  |-  ( Y `
 suc  A )  =  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  A )
295fveq1i 5729 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 A )  =  ( ( rec (
i ,  h )  |`  om ) `  A
)
3029fveq2i 5731 . . . . . 6  |-  ( i `
 ( Y `  A ) )  =  ( i `  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  A ) )
3127, 28, 303eqtr4g 2493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( Y `  suc  A )  =  ( i `  ( Y `  A )
) )
3231rneqd 5097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ran  ( Y `
 suc  A )  =  ran  ( i `  ( Y `  A ) ) )
3332unieqd 4026 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A )  =  U. ran  (
i `  ( Y `  A ) ) )
3433psseq1d 3439 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( U. ran  ( Y `  suc  A )  C.  U. ran  ( Y `  A )  <->  U. ran  ( i `  ( Y `  A ) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) )
3525, 34mpbird 224 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A ) 
C.  U. ran  ( Y `
 A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320    C. wpss 3321   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   |^|cint 4050   suc csuc 4583   omcom 4845   ran crn 4879    |` cres 4880   -1-1->wf1 5451   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   reccrdg 6667    ^m cmap 7018
This theorem is referenced by:  fin23lem36  8228  fin23lem38  8229  fin23lem39  8230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668
  Copyright terms: Public domain W3C validator