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Theorem fin23lem36 8061
Description: Lemma for fin23 8102. Weak order property of  Y. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem36  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  A  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    B, a    F, a    ph, a,
j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    B( x, g, h, i, j)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem36
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5605 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  B ) )
21rneqd 4985 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 B ) )
32unieqd 3917 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  B )
)
43sseq1d 3281 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  B )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
54imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  B  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  B ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
6 fveq2 5605 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  b ) )
76rneqd 4985 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 b ) )
87unieqd 3917 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
98sseq1d 3281 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
109imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
11 fveq2 5605 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( Y `  a
)  =  ( Y `
 suc  b )
)
1211rneqd 4985 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  ran  ( Y `  a
)  =  ran  ( Y `  suc  b ) )
1312unieqd 3917 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  suc  b ) )
1413sseq1d 3281 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( U. ran  ( Y `  a )  C_ 
U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) )
1514imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )  <->  ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) ) )
16 fveq2 5605 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  A ) )
1716rneqd 4985 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 A ) )
1817unieqd 3917 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  A )
)
1918sseq1d 3281 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
2019imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
21 ssid 3273 . . . 4  |-  U. ran  ( Y `  B ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B )
2221a1ii 24 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( ph  ->  U. ran  ( Y `
 B )  C_  U.
ran  ( Y `  B ) ) )
23 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  ph )
24 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  -> 
b  e.  om )
25 fin23lem33.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
26 fin23lem.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
27 fin23lem.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
28 fin23lem.h . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
29 fin23lem.i . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
3025, 26, 27, 28, 29fin23lem35 8060 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C.  U. ran  ( Y `
 b ) )
3123, 24, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C.  U. ran  ( Y `  b
) )
3231pssssd 3349 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  b ) )
33 sstr2 3262 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  ( Y `  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
3432, 33syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  -> 
( U. ran  ( Y `  b )  C_ 
U. ran  ( Y `  B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) )
3534expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  b )  ->  ( ph  ->  ( U. ran  ( Y `
 b )  C_  U.
ran  ( Y `  B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) ) )
3635a2d 23 . . 3  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  b )  ->  ( ( ph  ->  U. ran  ( Y `
 b )  C_  U.
ran  ( Y `  B ) )  -> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) ) )
375, 10, 15, 20, 22, 36findsg 4762 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  A )  ->  ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
3837impr 602 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  A  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1540    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   A.wral 2619   _Vcvv 2864    C_ wss 3228    C. wpss 3229   ~Pcpw 3701   U.cuni 3906   |^|cint 3941   suc csuc 4473   omcom 4735   ran crn 4769    |` cres 4770   -1-1->wf1 5331   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   reccrdg 6506    ^m cmap 6857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-recs 6472  df-rdg 6507
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