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Theorem fin23lem36 8228
Description: Lemma for fin23 8269. Weak order property of  Y. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem36  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  A  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    B, a    F, a    ph, a,
j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    B( x, g, h, i, j)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem36
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  B ) )
21rneqd 5097 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 B ) )
32unieqd 4026 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  B )
)
43sseq1d 3375 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  B )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
54imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  B  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  B ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
6 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  b ) )
76rneqd 5097 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 b ) )
87unieqd 4026 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
98sseq1d 3375 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
109imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
11 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( Y `  a
)  =  ( Y `
 suc  b )
)
1211rneqd 5097 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  ran  ( Y `  a
)  =  ran  ( Y `  suc  b ) )
1312unieqd 4026 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  suc  b ) )
1413sseq1d 3375 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( U. ran  ( Y `  a )  C_ 
U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) )
1514imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )  <->  ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) ) )
16 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  A ) )
1716rneqd 5097 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 A ) )
1817unieqd 4026 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  A )
)
1918sseq1d 3375 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
2019imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
21 ssid 3367 . . . 4  |-  U. ran  ( Y `  B ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B )
2221a1ii 25 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( ph  ->  U. ran  ( Y `
 B )  C_  U.
ran  ( Y `  B ) ) )
23 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  ph )
24 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  -> 
b  e.  om )
25 fin23lem33.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
26 fin23lem.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
27 fin23lem.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
28 fin23lem.h . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
29 fin23lem.i . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
3025, 26, 27, 28, 29fin23lem35 8227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C.  U. ran  ( Y `
 b ) )
3123, 24, 30syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C.  U. ran  ( Y `  b
) )
3231pssssd 3444 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  b ) )
33 sstr2 3355 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  ( Y `  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  -> 
( U. ran  ( Y `  b )  C_ 
U. ran  ( Y `  B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) )
3534expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  b )  ->  ( ph  ->  ( U. ran  ( Y `
 b )  C_  U.
ran  ( Y `  B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) ) )
3635a2d 24 . . 3  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  b )  ->  ( ( ph  ->  U. ran  ( Y `
 b )  C_  U.
ran  ( Y `  B ) )  -> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) ) )
375, 10, 15, 20, 22, 36findsg 4872 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  A )  ->  ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
3837impr 603 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  A  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320    C. wpss 3321   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   |^|cint 4050   suc csuc 4583   omcom 4845   ran crn 4879    |` cres 4880   -1-1->wf1 5451   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   reccrdg 6667    ^m cmap 7018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668
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