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Theorem fin23lem38 7975
Description: Lemma for fin23 8015. The contradictory chain has no minimum. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem38  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
g, i, j, x, h, G    F, a    ph, a, b, j    Y, a, b, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j, b)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem38
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 4676 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
2 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  d
)  =  U. ran  ( Y `  suc  d
)
3 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( Y `  b
)  =  ( Y `
 suc  d )
)
43rneqd 4906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  suc  d  ->  ran  ( Y `  b
)  =  ran  ( Y `  suc  d ) )
54unieqd 3838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  suc  d  ->  U. ran  ( Y `  b )  =  U. ran  ( Y `  suc  d ) )
65eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b )  <->  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  suc  d ) ) )
76rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  d  e.  om  /\ 
U. ran  ( Y `  suc  d )  = 
U. ran  ( Y `  suc  d ) )  ->  E. b  e.  om  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) )
82, 7mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  d  e.  om  ->  E. b  e.  om  U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) )
9 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y `
 suc  d )  e.  _V
109rnex 4942 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( Y `  suc  d )  e.  _V
1110uniex 4516 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  d
)  e.  _V
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )
1312elrnmpt 4926 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  _V  ->  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  <->  E. b  e.  om  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) ) )
1411, 13ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  <->  E. b  e.  om  U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
158, 14sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( suc  d  e.  om  ->  U.
ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
161, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  om  ->  U. ran  ( Y `  suc  d
)  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
1716adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) ) )
18 intss1 3877 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  ->  |^| ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) ) 
C_  U. ran  ( Y `
 suc  d )
)
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  |^| ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  suc  d ) )
20 fin23lem33.f . . . . . 6  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
21 fin23lem.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
22 fin23lem.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
23 fin23lem.h . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
24 fin23lem.i . . . . . 6  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
2520, 21, 22, 23, 24fin23lem35 7973 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  d ) 
C.  U. ran  ( Y `
 d ) )
26 sspsstr 3281 . . . . 5  |-  ( (
|^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) ) 
C_  U. ran  ( Y `
 suc  d )  /\  U. ran  ( Y `
 suc  d )  C.  U. ran  ( Y `
 d ) )  ->  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  C.  U. ran  ( Y `  d ) )
2719, 25, 26syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  |^| ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d ) )
28 dfpss2 3261 . . . . 5  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d )  <->  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  d )  /\  -.  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
) )
2928simprbi 450 . . . 4  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d )  ->  -.  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
3027, 29syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  = 
U. ran  ( Y `  d ) )
3130nrexdv 2646 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. d  e. 
om  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  U. ran  ( Y `  d ) )
32 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( b  =  d  ->  ( Y `  b )  =  ( Y `  d ) )
3332rneqd 4906 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ran  ( Y `  b )  =  ran  ( Y `
 d ) )
3433unieqd 3838 . . . . 5  |-  ( b  =  d  ->  U. ran  ( Y `  b )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
3534cbvmptv 4111 . . . 4  |-  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  ( d  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  d ) )
3635elrnmpt 4926 . . 3  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  ->  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  <->  E. d  e.  om  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
) )
3736ibi 232 . 2  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  ->  E. d  e.  om  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
3831, 37nsyl 113 1  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    C. wpss 3153   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690    |` cres 4691   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  fin23lem39  7976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
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