MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem38 Structured version   Unicode version

Theorem fin23lem38 8221
Description: Lemma for fin23 8261. The contradictory chain has no minimum. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem38  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
g, i, j, x, h, G    F, a    ph, a, b, j    Y, a, b, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j, b)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem38
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 4857 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
2 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  d
)  =  U. ran  ( Y `  suc  d
)
3 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( Y `  b
)  =  ( Y `
 suc  d )
)
43rneqd 5089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  suc  d  ->  ran  ( Y `  b
)  =  ran  ( Y `  suc  d ) )
54unieqd 4018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  suc  d  ->  U. ran  ( Y `  b )  =  U. ran  ( Y `  suc  d ) )
65eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b )  <->  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  suc  d ) ) )
76rspcev 3044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  d  e.  om  /\ 
U. ran  ( Y `  suc  d )  = 
U. ran  ( Y `  suc  d ) )  ->  E. b  e.  om  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) )
82, 7mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  d  e.  om  ->  E. b  e.  om  U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) )
9 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y `
 suc  d )  e.  _V
109rnex 5125 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( Y `  suc  d )  e.  _V
1110uniex 4697 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  d
)  e.  _V
12 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )
1312elrnmpt 5109 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  _V  ->  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  <->  E. b  e.  om  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) ) )
1411, 13ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  <->  E. b  e.  om  U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
158, 14sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( suc  d  e.  om  ->  U.
ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
161, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  om  ->  U. ran  ( Y `  suc  d
)  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
1716adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) ) )
18 intss1 4057 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  ->  |^| ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) ) 
C_  U. ran  ( Y `
 suc  d )
)
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  |^| ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  suc  d ) )
20 fin23lem33.f . . . . . 6  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
21 fin23lem.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
22 fin23lem.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
23 fin23lem.h . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
24 fin23lem.i . . . . . 6  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
2520, 21, 22, 23, 24fin23lem35 8219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  d ) 
C.  U. ran  ( Y `
 d ) )
2619, 25sspsstrd 3447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  |^| ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d ) )
27 dfpss2 3424 . . . . 5  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d )  <->  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  d )  /\  -.  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
) )
2827simprbi 451 . . . 4  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d )  ->  -.  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
2926, 28syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  = 
U. ran  ( Y `  d ) )
3029nrexdv 2801 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. d  e. 
om  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  U. ran  ( Y `  d ) )
31 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( b  =  d  ->  ( Y `  b )  =  ( Y `  d ) )
3231rneqd 5089 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ran  ( Y `  b )  =  ran  ( Y `
 d ) )
3332unieqd 4018 . . . . 5  |-  ( b  =  d  ->  U. ran  ( Y `  b )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
3433cbvmptv 4292 . . . 4  |-  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  ( d  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  d ) )
3534elrnmpt 5109 . . 3  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  ->  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  <->  E. d  e.  om  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
) )
3635ibi 233 . 2  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  ->  E. d  e.  om  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
3730, 36nsyl 115 1  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312    C. wpss 3313   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   |^|cint 4042    e. cmpt 4258   suc csuc 4575   omcom 4837   ran crn 4871    |` cres 4872   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   reccrdg 6659    ^m cmap 7010
This theorem is referenced by:  fin23lem39  8222
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660
  Copyright terms: Public domain W3C validator