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Theorem fin23lem39 7976
Description: Lemma for fin23 8015. Thus we have that  g could not have been in  F after all. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem39  |-  ( ph  ->  -.  G  e.  F
)
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x, h, G    F, a    ph, a,
j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem39
Dummy variables  c 
d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem33.f . . 3  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
2 fin23lem.f . . 3  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
3 fin23lem.g . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
4 fin23lem.h . . 3  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
5 fin23lem.i . . 3  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
61, 2, 3, 4, 5fin23lem38 7975 . 2  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) )  e.  ran  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) )
71, 2, 3, 4, 5fin23lem34 7972 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  om )  ->  ( ( Y `  c ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  c ) 
C_  G ) )
87simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  c )  C_  G )
98adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  F )  /\  c  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  c ) 
C_  G )
10 elpw2g 4174 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  F  ->  ( U. ran  ( Y `  c )  e.  ~P G 
<-> 
U. ran  ( Y `  c )  C_  G
) )
1110ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  F )  /\  c  e.  om )  ->  ( U. ran  ( Y `  c )  e.  ~P G 
<-> 
U. ran  ( Y `  c )  C_  G
) )
129, 11mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  F )  /\  c  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  c )  e.  ~P G )
13 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) )  =  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) )
1412, 13fmptd 5684 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) : om --> ~P G )
15 pwexg 4194 . . . . 5  |-  ( G  e.  F  ->  ~P G  e.  _V )
16 vex 2791 . . . . . . 7  |-  h  e. 
_V
17 f1f 5437 . . . . . . 7  |-  ( h : om -1-1-> _V  ->  h : om --> _V )
18 dmfex 5424 . . . . . . 7  |-  ( ( h  e.  _V  /\  h : om --> _V )  ->  om  e.  _V )
1916, 17, 18sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( h : om -1-1-> _V  ->  om  e.  _V )
202, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  om  e.  _V )
21 elmapg 6785 . . . . 5  |-  ( ( ~P G  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om )  <->  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) : om --> ~P G
) )
2215, 20, 21syl2anr 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om )  <->  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) : om --> ~P G
) )
2314, 22mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om ) )
241isfin3ds 7955 . . . . 5  |-  ( G  e.  F  ->  ( G  e.  F  <->  A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d ) ) )
2524ibi 232 . . . 4  |-  ( G  e.  F  ->  A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d ) )
2625adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d ) )
271, 2, 3, 4, 5fin23lem35 7973 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C.  U. ran  ( Y `
 e ) )
2827pssssd 3273 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C_  U. ran  ( Y `
 e ) )
29 peano2 4676 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  om  ->  suc  e  e.  om )
30 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( Y `  c
)  =  ( Y `
 suc  e )
)
3130rneqd 4906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  suc  e  ->  ran  ( Y `  c
)  =  ran  ( Y `  suc  e ) )
3231unieqd 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  suc  e  ->  U. ran  ( Y `  c )  =  U. ran  ( Y `  suc  e ) )
33 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y `
 suc  e )  e.  _V
3433rnex 4942 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( Y `  suc  e )  e.  _V
3534uniex 4516 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  e
)  e.  _V
3632, 13, 35fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  e  e.  om  ->  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  =  U. ran  ( Y `  suc  e ) )
3729, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  =  U. ran  ( Y `  suc  e ) )
38 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  e  ->  ( Y `  c )  =  ( Y `  e ) )
3938rneqd 4906 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  e  ->  ran  ( Y `  c )  =  ran  ( Y `
 e ) )
4039unieqd 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  e  ->  U. ran  ( Y `  c )  =  U. ran  ( Y `  e )
)
41 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y `
 e )  e. 
_V
4241rnex 4942 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( Y `  e )  e.  _V
4342uniex 4516 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( Y `  e )  e.  _V
4440, 13, 43fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  =  U. ran  ( Y `  e
) )
4537, 44sseq12d 3207 . . . . . . 7  |-  ( e  e.  om  ->  (
( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 suc  e )  C_  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 e )  <->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C_  U. ran  ( Y `
 e ) ) )
4645adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  ( (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  C_  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  <->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C_  U. ran  ( Y `
 e ) ) )
4728, 46mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  C_  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) )
4847ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. e  e.  om  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 suc  e )  C_  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 e ) )
4948adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  A. e  e.  om  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) )
50 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( d `  suc  e )  =  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e ) )
51 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( d `  e )  =  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) )
5250, 51sseq12d 3207 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( ( d `
 suc  e )  C_  ( d `  e
)  <->  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) ) )
5352ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  <->  A. e  e.  om  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  C_  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) ) )
54 rneq 4904 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ran  d  =  ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) )
5554inteqd 3867 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  |^| ran  d  = 
|^| ran  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) )
5655, 54eleq12d 2351 . . . . 5  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( |^| ran  d  e.  ran  d  <->  |^| ran  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) ) )
5753, 56imbi12d 311 . . . 4  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( ( A. e  e.  om  (
d `  suc  e ) 
C_  ( d `  e )  ->  |^| ran  d  e.  ran  d )  <-> 
( A. e  e. 
om  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  ->  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) ) ) )
5857rspcv 2880 . . 3  |-  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om )  ->  ( A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d )  -> 
( A. e  e. 
om  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  ->  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) ) ) )
5923, 26, 49, 58syl3c 57 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) )
606, 59mtand 640 1  |-  ( ph  ->  -.  G  e.  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    C. wpss 3153   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  fin23lem41  7978
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-map 6774
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