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Theorem fin23lem41 8232
Description: Lemma for fin23 8269. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem40.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
Assertion
Ref Expression
fin23lem41  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Distinct variable groups:    g, a, x, A    F, a
Allowed substitution hints:    F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41
Dummy variables  b 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7119 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  E. b 
b : om -1-1-> ~P A )
2 fin23lem40.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
32fin23lem33 8225 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  F  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
43adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
5 ssv 3368 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P A  C_ 
_V
6 f1ss 5644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  ~P A  C_  _V )  ->  b : om -1-1-> _V )
75, 6mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om -1-1-> _V )
87ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  -> 
b : om -1-1-> _V )
9 f1f 5639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om --> ~P A
)
10 frn 5597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b : om --> ~P A  ->  ran  b  C_  ~P A )
11 uniss 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  b  C_  ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
129, 10, 113syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
13 unipw 4414 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ~P A  =  A
1412, 13syl6sseq 3394 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  A )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  U. ran  b  C_  A
)
16 f1eq1 5634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  (
d : om -1-1-> _V  <->  e : om -1-1-> _V )
)
17 rneq 5095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  ran  d  =  ran  e )
1817unieqd 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  d  =  U. ran  e
)
1918sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  d  C_  A  <->  U.
ran  e  C_  A
) )
2016, 19anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  e  ->  (
( d : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  d  C_  A )  <->  ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A ) ) )
21 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  (
c `  d )  =  ( c `  e ) )
22 f1eq1 5634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c `  d )  =  ( c `  e )  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2421rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  ran  ( c `  d
)  =  ran  (
c `  e )
)
2524unieqd 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  ( c `  d
)  =  U. ran  ( c `  e
) )
2625, 18psseq12d 3441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  ( c `  d )  C.  U. ran  d  <->  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) )
2723, 26anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d )  <->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
2820, 27imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( d : om -1-1-> _V  /\  U. ran  d  C_  A )  -> 
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d ) )  <-> 
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) ) )
2928cbvalv 1984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  <->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3029biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  ->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  A. e ( ( e : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  e  C_  A
)  ->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
32 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( c ,  b )  |`  om )  =  ( rec (
c ,  b )  |`  om )
332, 8, 15, 31, 32fin23lem39 8230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  -.  A  e.  F
)
344, 33exlimddv 1648 . . . . . . 7  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  -.  A  e.  F )
3534pm2.01da 430 . . . . . 6  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F
)
3635exlimiv 1644 . . . . 5  |-  ( E. b  b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F )
371, 36syl 16 . . . 4  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  -.  A  e.  F )
3837con2i 114 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  -.  om  ~<_  ~P A )
39 pwexg 4383 . . . 4  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e.  _V )
40 isfin4-2 8194 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4139, 40syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4238, 41mpbird 224 . 2  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e. FinIV )
43 isfin3 8176 . 2  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
4442, 43sylibr 204 1  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320    C. wpss 3321   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   |^|cint 4050   class class class wbr 4212   suc csuc 4583   omcom 4845   ran crn 4879    |` cres 4880   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   reccrdg 6667    ^m cmap 7018    ~<_ cdom 7107  FinIVcfin4 8160  FinIIIcfin3 8161
This theorem is referenced by:  isf33lem  8246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seqom 6705  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-fin4 8167  df-fin3 8168
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