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Theorem fin23lem41 7994
Description: Lemma for fin23 8031. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem40.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
Assertion
Ref Expression
fin23lem41  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Distinct variable groups:    g, a, x, A    F, a
Allowed substitution hints:    F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41
Dummy variables  b 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6889 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  E. b 
b : om -1-1-> ~P A )
2 fin23lem40.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
32fin23lem33 7987 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  F  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
43adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
5 ssv 3211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P A  C_ 
_V
6 f1ss 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  ~P A  C_  _V )  ->  b : om -1-1-> _V )
75, 6mpan2 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om -1-1-> _V )
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  -> 
b : om -1-1-> _V )
9 f1f 5453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om --> ~P A
)
10 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b : om --> ~P A  ->  ran  b  C_  ~P A )
11 uniss 3864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  b  C_  ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
13 unipw 4240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ~P A  =  A
1412, 13syl6sseq 3237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  A )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  U. ran  b  C_  A
)
16 f1eq1 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  e  ->  (
d : om -1-1-> _V  <->  e : om -1-1-> _V )
)
17 rneq 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  e  ->  ran  d  =  ran  e )
1817unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  d  =  U. ran  e
)
1918sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  d  C_  A  <->  U.
ran  e  C_  A
) )
2016, 19anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  (
( d : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  d  C_  A )  <->  ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A ) ) )
21 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  e  ->  (
c `  d )  =  ( c `  e ) )
22 f1eq1 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c `  d )  =  ( c `  e )  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  e  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2421rneqd 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  e  ->  ran  ( c `  d
)  =  ran  (
c `  e )
)
2524unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  ( c `  d
)  =  U. ran  ( c `  e
) )
2625, 18psseq12d 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  ( c `  d )  C.  U. ran  d  <->  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) )
2723, 26anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d )  <->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
2820, 27imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( d : om -1-1-> _V  /\  U. ran  d  C_  A )  -> 
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d ) )  <-> 
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) ) )
2928cbvalv 1955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  <->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3029biimpi 186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  ->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  A. e ( ( e : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  e  C_  A
)  ->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
32 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rec ( c ,  b )  |`  om )  =  ( rec (
c ,  b )  |`  om )
332, 8, 15, 31, 32fin23lem39 7992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  -.  A  e.  F
)
3433ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  ->  -.  A  e.  F )
)
3534exlimdv 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  ( E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  d  C_  A )  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( c `  d )  C.  U. ran  d ) )  ->  -.  A  e.  F
) )
364, 35mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  -.  A  e.  F )
3736ex 423 . . . . . . 7  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  ( A  e.  F  ->  -.  A  e.  F
) )
3837pm2.01d 161 . . . . . 6  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F
)
3938exlimiv 1624 . . . . 5  |-  ( E. b  b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F )
401, 39syl 15 . . . 4  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  -.  A  e.  F )
4140con2i 112 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  -.  om  ~<_  ~P A )
42 pwexg 4210 . . . 4  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e.  _V )
43 isfin4-2 7956 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4442, 43syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4541, 44mpbird 223 . 2  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e. FinIV )
46 isfin3 7938 . 2  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
4745, 46sylibr 203 1  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    C. wpss 3166   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|cint 3878   class class class wbr 4039   suc csuc 4410   omcom 4672   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   reccrdg 6438    ^m cmap 6788    ~<_ cdom 6877  FinIVcfin4 7922  FinIIIcfin3 7923
This theorem is referenced by:  isf33lem  8008
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-fin4 7929  df-fin3 7930
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