Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin2i2 Structured version   Unicode version

Theorem fin2i2 8198
 Description: A II-finite set contains minimal elements for every nonempty chain. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin2i2 FinII []

Proof of Theorem fin2i2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . 3 FinII []
2 simpll 731 . . . . 5 FinII [] FinII
3 ssrab2 3428 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5 FinII []
5 simprl 733 . . . . . 6 FinII []
6 fin23lem7 8196 . . . . . 6 FinII
72, 1, 5, 6syl3anc 1184 . . . . 5 FinII []
8 sorpsscmpl 6533 . . . . . 6 [] []
98ad2antll 710 . . . . 5 FinII [] []
10 fin2i 8175 . . . . 5 FinII []
112, 4, 7, 9, 10syl22anc 1185 . . . 4 FinII []
12 sorpssuni 6531 . . . . 5 []
139, 12syl 16 . . . 4 FinII []
1411, 13mpbird 224 . . 3 FinII []
15 psseq2 3435 . . . 4
16 psseq2 3435 . . . 4
17 pssdifcom2 3714 . . . 4
1815, 16, 17fin23lem11 8197 . . 3
191, 14, 18sylc 58 . 2 FinII []
20 sorpssint 6532 . . 3 []
2120ad2antll 710 . 2 FinII []
2219, 21mpbid 202 1 FinII []
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709   cdif 3317   wss 3320   wpss 3321  c0 3628  cpw 3799  cuni 4015  cint 4050   wor 4502   [] crpss 6521  FinIIcfin2 8159 This theorem is referenced by:  isfin2-2  8199  fin23lem40  8231 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-br 4213  df-opab 4267  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-rpss 6522  df-fin2 8166
 Copyright terms: Public domain W3C validator