MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin33i Structured version   Unicode version

Theorem fin33i 8249
Description: Inference from isfin3-3 8248. (This is actually a bit stronger than isfin3-3 8248 because it does not assume  F is a set and does not use the Axiom of Infinity either.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin33i  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem fin33i
StepHypRef Expression
1 isfin32i 8245 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )
213ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  -.  om  ~<_*  A )
3 isf32lem11 8243 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( F : om --> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x )  /\  -.  |^|
ran  F  e.  ran  F ) )  ->  om  ~<_*  A )
433exp2 1171 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  ->  ( F : om
--> ~P A  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x )  ->  ( -.  |^| ran  F  e. 
ran  F  ->  om  ~<_*  A ) ) ) )
543imp 1147 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  -> 
( -.  |^| ran  F  e.  ran  F  ->  om 
~<_* 
A ) )
62, 5mt3d 119 1  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   |^|cint 4050   class class class wbr 4212   suc csuc 4583   omcom 4845   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454    ~<_* cwdom 7525  FinIIIcfin3 8161
This theorem is referenced by:  isf34lem7  8259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-wdom 7527  df-card 7826  df-fin4 8167  df-fin3 8168
  Copyright terms: Public domain W3C validator