MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin33i Unicode version

Theorem fin33i 7995
Description: Inference from isfin3-3 7994. (This is actually a bit stronger than isfin3-3 7994 because it does not assume  F is a set and does not use the Axiom of Infinity either.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin33i  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem fin33i
StepHypRef Expression
1 isfin32i 7991 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )
213ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  -.  om  ~<_*  A )
3 isf32lem11 7989 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( F : om --> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x )  /\  -.  |^|
ran  F  e.  ran  F ) )  ->  om  ~<_*  A )
433exp2 1169 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  ->  ( F : om
--> ~P A  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x )  ->  ( -.  |^| ran  F  e. 
ran  F  ->  om  ~<_*  A ) ) ) )
543imp 1145 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  -> 
( -.  |^| ran  F  e.  ran  F  ->  om 
~<_* 
A ) )
62, 5mt3d 117 1  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   |^|cint 3862   class class class wbr 4023   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255    ~<_* cwdom 7271  FinIIIcfin3 7907
This theorem is referenced by:  isf34lem7  8005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-wdom 7273  df-card 7572  df-fin4 7913  df-fin3 7914
  Copyright terms: Public domain W3C validator