MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin41 Structured version   Unicode version

Theorem fin41 8324
Description: Under countable choice, the IV-finite sets (Dedekind-finite) coincide with I-finite (finite in the usual sense) sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin41  |- FinIV  =  Fin

Proof of Theorem fin41
StepHypRef Expression
1 vex 2959 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21domtriom 8323 . . . 4  |-  ( om  ~<_  x  <->  -.  x  ~<  om )
32con2bii 323 . . 3  |-  ( x 
~<  om  <->  -.  om  ~<_  x )
4 isfinite 7607 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
5 isfin4-2 8194 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. FinIV 
<->  -.  om  ~<_  x ) )
61, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( x  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  x )
73, 4, 63bitr4ri 270 . 2  |-  ( x  e. FinIV  <-> 
x  e.  Fin )
87eqriv 2433 1  |- FinIV  =  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212   omcom 4845    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   Fincfn 7109  FinIVcfin4 8160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-fin4 8167
  Copyright terms: Public domain W3C validator