Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin67 Structured version   Unicode version

Theorem fin67 8277
 Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin67 FinVI FinVII

Proof of Theorem fin67
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin6 8182 . 2 FinVI
2 2onn 6885 . . . . . 6
3 ssid 3369 . . . . . 6
4 ssnnfi 7330 . . . . . 6
52, 3, 4mp2an 655 . . . . 5
6 sdomdom 7137 . . . . 5
7 domfi 7332 . . . . 5
85, 6, 7sylancr 646 . . . 4
9 fin17 8276 . . . 4 FinVII
108, 9syl 16 . . 3 FinVII
11 sdomnen 7138 . . . . 5
12 eldifi 3471 . . . . . . . . 9
13 ensym 7158 . . . . . . . . 9
14 isnumi 7835 . . . . . . . . 9
1512, 13, 14syl2an 465 . . . . . . . 8
16 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
17 eldif 3332 . . . . . . . . . . . 12
18 ordom 4856 . . . . . . . . . . . . . 14
19 eloni 4593 . . . . . . . . . . . . . 14
20 ordtri1 4616 . . . . . . . . . . . . . 14
2118, 19, 20sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13
2221biimpar 473 . . . . . . . . . . . 12
2317, 22sylbi 189 . . . . . . . . . . 11
24 ssdomg 7155 . . . . . . . . . . 11
2516, 23, 24mpsyl 62 . . . . . . . . . 10
26 domen2 7252 . . . . . . . . . 10
2725, 26syl5ibr 214 . . . . . . . . 9
2827impcom 421 . . . . . . . 8
29 infxpidm2 7900 . . . . . . . 8
3015, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . 7
31 ensym 7158 . . . . . . 7
3230, 31syl 16 . . . . . 6
3332rexlimiva 2827 . . . . 5
3411, 33nsyl 116 . . . 4
35 relsdom 7118 . . . . . 6
3635brrelexi 4920 . . . . 5
37 isfin7 8183 . . . . 5 FinVII
3836, 37syl 16 . . . 4 FinVII
3934, 38mpbird 225 . . 3 FinVII
4010, 39jaoi 370 . 2 FinVII
411, 40sylbi 189 1 FinVI FinVII
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wcel 1726  wrex 2708  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322   class class class wbr 4214   word 4582  con0 4583  com 4847   cxp 4878   cdm 4880  c2o 6720   cen 7108   cdom 7109   csdm 7110  cfn 7111  ccrd 7824  FinVIcfin6 8165  FinVIIcfin7 8166 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-fin6 8172  df-fin7 8173
 Copyright terms: Public domain W3C validator