MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin67 Unicode version

Theorem fin67 8021
Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin67  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )

Proof of Theorem fin67
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin6 7926 . 2  |-  ( A  e. FinVI  <-> 
( A  ~<  2o  \/  A  ~<  ( A  X.  A ) ) )
2 2onn 6638 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
3 ssid 3197 . . . . . 6  |-  2o  C_  2o
4 ssnnfi 7082 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  2o  C_  2o )  ->  2o  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 653 . . . . 5  |-  2o  e.  Fin
6 sdomdom 6889 . . . . 5  |-  ( A 
~<  2o  ->  A  ~<_  2o )
7 domfi 7084 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  A  ~<_  2o )  ->  A  e.  Fin )
85, 6, 7sylancr 644 . . . 4  |-  ( A 
~<  2o  ->  A  e.  Fin )
9 fin17 8020 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( A 
~<  2o  ->  A  e. FinVII )
11 sdomnen 6890 . . . . 5  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  -.  A  ~~  ( A  X.  A
) )
12 eldifi 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  b  e.  On )
13 ensym 6910 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  b  ~~  A )
14 isnumi 7579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  On  /\  b  ~~  A )  ->  A  e.  dom  card )
1512, 13, 14syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  ->  A  e.  dom  card )
16 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
17 eldif 3162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  <->  ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om ) )
18 ordom 4665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Ord  om
19 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  On  ->  Ord  b )
20 ordtri1 4425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  b )  ->  ( om  C_  b  <->  -.  b  e.  om ) )
2118, 19, 20sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  On  ->  ( om  C_  b  <->  -.  b  e.  om ) )
2221biimpar 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om )  ->  om  C_  b )
2317, 22sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  om  C_  b
)
24 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  _V  ->  ( om  C_  b  ->  om  ~<_  b ) )
2516, 23, 24mpsyl 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  om  ~<_  b )
26 domen2 7004 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
~~  b  ->  ( om 
~<_  A  <->  om  ~<_  b ) )
2725, 26syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  (
b  e.  ( On 
\  om )  ->  om 
~<_  A ) )
2827impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  ->  om 
~<_  A )
29 infxpidm2 7644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( A  X.  A
)  ~~  A )
3015, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  X.  A
)  ~~  A )
31 ensym 6910 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  X.  A
) )
3230, 31syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  ->  A  ~~  ( A  X.  A ) )
3332rexlimiva 2662 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b  ->  A  ~~  ( A  X.  A
) )
3411, 33nsyl 113 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b )
35 relsdom 6870 . . . . . 6  |-  Rel  ~<
3635brrelexi 4729 . . . . 5  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  A  e.  _V )
37 isfin7 7927 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. FinVII 
<->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
3836, 37syl 15 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  ( A  e. FinVII  <->  -. 
E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
3934, 38mpbird 223 . . 3  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  A  e. FinVII )
4010, 39jaoi 368 . 2  |-  ( ( A  ~<  2o  \/  A  ~<  ( A  X.  A ) )  ->  A  e. FinVII )
411, 40sylbi 187 1  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   Ord word 4391   Oncon0 4392   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689   2oc2o 6473    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863   cardccrd 7568  FinVIcfin6 7909  FinVIIcfin7 7910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-fin6 7916  df-fin7 7917
  Copyright terms: Public domain W3C validator