MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finacn Unicode version

Theorem finacn 7677
Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
finacn  |-  ( A  e.  Fin  -> AC  A  =  _V )

Proof of Theorem finacn
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 6792 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  f : A --> ( ~P x  \  { (/)
} ) )
21adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  f : A
--> ( ~P x  \  { (/) } ) )
3 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } ) )
4 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } )  -> 
( f `  y
)  =/=  (/) )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  =/=  (/) )
6 n0 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  y )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( f `  y
) )
75, 6sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  E. z 
z  e.  ( f `
 y ) )
8 rexv 2802 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y
)  <->  E. z  z  e.  ( f `  y
) )
97, 8sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y ) )
109ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y ) )
112, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y ) )
12 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( g `  y )  ->  (
z  e.  ( f `
 y )  <->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1312ac6sfi 7101 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y
) )  ->  E. g
( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1411, 13syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g
( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
15 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
1615eximi 1563 . . . . . 6  |-  ( E. g ( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
1714, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
1817ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
19 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
20 isacn 7671 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
2119, 20mpan 651 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
2218, 21mpbird 223 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  x  e. AC  A )
2319a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  x  e.  _V )
2422, 232thd 231 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e. AC  A  <->  x  e.  _V ) )
2524eqrdv 2281 1  |-  ( A  e.  Fin  -> AC  A  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863  AC wacn 7571
This theorem is referenced by:  acndom  7678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-acn 7575
  Copyright terms: Public domain W3C validator