MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finacn Unicode version

Theorem finacn 7693
Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
finacn  |-  ( A  e.  Fin  -> AC  A  =  _V )

Proof of Theorem finacn
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 6808 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  f : A --> ( ~P x  \  { (/)
} ) )
21adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  f : A
--> ( ~P x  \  { (/) } ) )
3 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } ) )
4 eldifsni 3763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } )  -> 
( f `  y
)  =/=  (/) )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  =/=  (/) )
6 n0 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  y )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( f `  y
) )
75, 6sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  E. z 
z  e.  ( f `
 y ) )
8 rexv 2815 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y
)  <->  E. z  z  e.  ( f `  y
) )
97, 8sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y ) )
109ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y ) )
112, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y ) )
12 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( g `  y )  ->  (
z  e.  ( f `
 y )  <->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1312ac6sfi 7117 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y
) )  ->  E. g
( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1411, 13syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g
( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
15 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
1615eximi 1566 . . . . . 6  |-  ( E. g ( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
1714, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
1817ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
19 vex 2804 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
20 isacn 7687 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
2119, 20mpan 651 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
2218, 21mpbird 223 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  x  e. AC  A )
2319a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  x  e.  _V )
2422, 232thd 231 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e. AC  A  <->  x  e.  _V ) )
2524eqrdv 2294 1  |-  ( A  e.  Fin  -> AC  A  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879  AC wacn 7587
This theorem is referenced by:  acndom  7694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-acn 7591
  Copyright terms: Public domain W3C validator