MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finacn Structured version   Unicode version

Theorem finacn 7962
Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
finacn  |-  ( A  e.  Fin  -> AC  A  =  _V )

Proof of Theorem finacn
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7067 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A )  ->  f : A --> ( ~P x  \  { (/)
} ) )
21adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  f : A
--> ( ~P x  \  { (/) } ) )
3 ffvelrn 5897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } ) )
4 eldifsni 3952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } )  -> 
( f `  y
)  =/=  (/) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  =/=  (/) )
6 n0 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  y )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( f `  y
) )
75, 6sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  E. z 
z  e.  ( f `
 y ) )
8 rexv 2976 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y
)  <->  E. z  z  e.  ( f `  y
) )
97, 8sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y ) )
109ralrimiva 2795 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> ( ~P x  \  { (/) } )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y ) )
112, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y ) )
12 eleq1 2502 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( g `  y )  ->  (
z  e.  ( f `
 y )  <->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1312ac6sfi 7380 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  E. z  e.  _V  z  e.  ( f `  y
) )  ->  E. g
( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1411, 13syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g
( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
15 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
1615eximi 1586 . . . . . 6  |-  ( E. g ( g : A --> _V  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) )  ->  E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
1817ralrimiva 2795 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )
19 vex 2965 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
20 isacn 7956 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
2119, 20mpan 653 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
2218, 21mpbird 225 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  x  e. AC  A )
2319a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  x  e.  _V )
2422, 232thd 233 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  e. AC  A  <->  x  e.  _V ) )
2524eqrdv 2440 1  |-  ( A  e.  Fin  -> AC  A  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   E.wrex 2712   _Vcvv 2962    \ cdif 3303   (/)c0 3613   ~Pcpw 3823   {csn 3838   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    ^m cmap 7047   Fincfn 7138  AC wacn 7856
This theorem is referenced by:  acndom  7963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6753  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-fin 7142  df-acn 7860
  Copyright terms: Public domain W3C validator