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Theorem fincmp 17120
Description: A finite topology is compact. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
fincmp  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Comp )

Proof of Theorem fincmp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . 3  |-  ( Top 
i^i  Fin )  C_  Top
21sseli 3176 . 2  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Top )
3 inss2 3390 . . . 4  |-  ( Top 
i^i  Fin )  C_  Fin
43sseli 3176 . . 3  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Fin )
5 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
65pwid 3638 . . . . 5  |-  y  e. 
~P y
75elpw 3631 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P J  <->  y  C_  J )
8 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  C_  J )  -> 
y  e.  Fin )
97, 8sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  e.  ~P J
)  ->  y  e.  Fin )
10 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P y  /\  y  e.  Fin ) )
11 unieq 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  U. z  =  U. y )
1211eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( U. J  =  U. z 
<-> 
U. J  =  U. y ) )
1312rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. y )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )
1413ex 423 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
1510, 14sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P y  /\  y  e.  Fin )  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z ) )
166, 9, 15sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
1716ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( J  e.  Fin  ->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
184, 17syl 15 . 2  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
19 eqid 2283 . . 3  |-  U. J  =  U. J
2019iscmp 17115 . 2  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
212, 18, 20sylanbrc 645 1  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   Fincfn 6863   Topctop 16631   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  0cmp  17121  discmp  17125  1stckgenlem  17248  ptcmpfi  17504  indcomp  25589  topunfincomp  25590  kelac2lem  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-cmp 17114
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