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Theorem fincmp 17456
Description: A finite topology is compact. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
fincmp  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Comp )

Proof of Theorem fincmp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3561 . . 3  |-  ( Top 
i^i  Fin )  C_  Top
21sseli 3344 . 2  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Top )
3 inss2 3562 . . . 4  |-  ( Top 
i^i  Fin )  C_  Fin
43sseli 3344 . . 3  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Fin )
5 vex 2959 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
65pwid 3812 . . . . 5  |-  y  e. 
~P y
75elpw 3805 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P J  <->  y  C_  J )
8 ssfi 7329 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  C_  J )  -> 
y  e.  Fin )
97, 8sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  e.  ~P J
)  ->  y  e.  Fin )
10 elin 3530 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P y  /\  y  e.  Fin ) )
11 unieq 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  U. z  =  U. y )
1211eqeq2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( U. J  =  U. z 
<-> 
U. J  =  U. y ) )
1312rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. y )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )
1413ex 424 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
1510, 14sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P y  /\  y  e.  Fin )  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z ) )
166, 9, 15sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
1716ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( J  e.  Fin  ->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
184, 17syl 16 . 2  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
19 eqid 2436 . . 3  |-  U. J  =  U. J
2019iscmp 17451 . 2  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
212, 18, 20sylanbrc 646 1  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   Fincfn 7109   Topctop 16958   Compccmp 17449
This theorem is referenced by:  0cmp  17457  discmp  17461  1stckgenlem  17585  ptcmpfi  17845  kelac2lem  27139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-cmp 17450
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