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Theorem fincmp 17136
Description: A finite topology is compact. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
fincmp  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Comp )

Proof of Theorem fincmp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . . 3  |-  ( Top 
i^i  Fin )  C_  Top
21sseli 3189 . 2  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Top )
3 inss2 3403 . . . 4  |-  ( Top 
i^i  Fin )  C_  Fin
43sseli 3189 . . 3  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Fin )
5 vex 2804 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
65pwid 3651 . . . . 5  |-  y  e. 
~P y
75elpw 3644 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P J  <->  y  C_  J )
8 ssfi 7099 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  C_  J )  -> 
y  e.  Fin )
97, 8sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  e.  ~P J
)  ->  y  e.  Fin )
10 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P y  /\  y  e.  Fin ) )
11 unieq 3852 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  U. z  =  U. y )
1211eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( U. J  =  U. z 
<-> 
U. J  =  U. y ) )
1312rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. y )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )
1413ex 423 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
1510, 14sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P y  /\  y  e.  Fin )  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z ) )
166, 9, 15sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
1716ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( J  e.  Fin  ->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
184, 17syl 15 . 2  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
19 eqid 2296 . . 3  |-  U. J  =  U. J
2019iscmp 17131 . 2  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
212, 18, 20sylanbrc 645 1  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   Fincfn 6879   Topctop 16647   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  0cmp  17137  discmp  17141  1stckgenlem  17264  ptcmpfi  17520  indcomp  25692  topunfincomp  25693  kelac2lem  27265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-cmp 17130
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