Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hoffman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  findabrcl Unicode version

Theorem findabrcl 24893
Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 16-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
findabrcl.1  |-  ( z  e.  P  ->  ( G `  z )  e.  P )
Assertion
Ref Expression
findabrcl  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  P )  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( rec ( G ,  A ) `  x ) ) `  C )  e.  P
)
Distinct variable groups:    x, G    x, A    x, C    z, G    z, A    z, P
Allowed substitution hints:    C( z)    P( x)

Proof of Theorem findabrcl
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . . 4  |-  ( C  e.  om  ->  C  e.  _V )
2 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( rec ( G ,  A
) `  x )  =  ( rec ( G ,  A ) `  C ) )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( G ,  A
) `  x )
)  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( G ,  A
) `  x )
)
4 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( rec ( G ,  A
) `  C )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  ->  (
( x  e.  _V  |->  ( rec ( G ,  A ) `  x
) ) `  C
)  =  ( rec ( G ,  A
) `  C )
)
61, 5syl 15 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( x  e.  _V  |->  ( rec ( G ,  A ) `  x
) ) `  C
)  =  ( rec ( G ,  A
) `  C )
)
76adantr 451 . 2  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  P )  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( rec ( G ,  A ) `  x ) ) `  C )  =  ( rec ( G ,  A ) `  C
) )
8 findabrcl.1 . . . 4  |-  ( z  e.  P  ->  ( G `  z )  e.  P )
98findreccl 24892 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  ( A  e.  P  ->  ( rec ( G ,  A ) `  C
)  e.  P ) )
109imp 418 . 2  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  P )  ->  ( rec ( G ,  A ) `  C )  e.  P
)
117, 10eqeltrd 2357 1  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  P )  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( rec ( G ,  A ) `  x ) ) `  C )  e.  P
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   omcom 4656   ` cfv 5255   reccrdg 6422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
  Copyright terms: Public domain W3C validator