MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  findcard2 Unicode version

Theorem findcard2 7098
Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
findcard2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
findcard2.3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
findcard2.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
findcard2.5  |-  ps
findcard2.6  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
findcard2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    ch( y, z)    th( y, z)    ta( y,
z)

Proof of Theorem findcard2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard2.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2 isfi 6885 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  <->  E. w  e.  om  x  ~~  w
)
3 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x 
~~  w  <->  x  ~~  (/) ) )
43imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  (/) 
->  ph ) ) )
54albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x
( x  ~~  (/)  ->  ph )
) )
6 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  v  ->  (
x  ~~  w  <->  x  ~~  v ) )
76imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( w  =  v  ->  (
( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  v  ->  ph )
) )
87albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( w  =  v  ->  ( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x
( x  ~~  v  ->  ph ) ) )
9 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  v  -> 
( x  ~~  w  <->  x 
~~  suc  v )
)
109imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  v  -> 
( ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  suc  v  ->  ph )
) )
1110albidv 1611 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  v  -> 
( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x ( x 
~~  suc  v  ->  ph ) ) )
12 en0 6924 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~~  (/)  <->  x  =  (/) )
13 findcard2.5 . . . . . . . . 9  |-  ps
14 findcard2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
1513, 14mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ph )
1612, 15sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( x 
~~  (/)  ->  ph )
1716ax-gen 1533 . . . . . 6  |-  A. x
( x  ~~  (/)  ->  ph )
18 nsuceq0 4472 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  v  =/=  (/)
19 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
~~  suc  v  <->  (/)  ~~  suc  v ) )
2019anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  <-> 
( v  e.  om  /\  (/)  ~~  suc  v ) ) )
21 peano1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  om
22 peano2 4676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  om  ->  suc  v  e.  om )
23 nneneq 7044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  suc  v  e.  om )  ->  ( (/)  ~~  suc  v  <->  (/)  =  suc  v ) )
2421, 22, 23sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  om  ->  ( (/)  ~~  suc  v  <->  (/)  =  suc  v ) )
2524biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  om  /\  (/)  ~~  suc  v )  ->  (/)  =  suc  v )
2625eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  om  /\  (/)  ~~  suc  v )  ->  suc  v  =  (/) )
2720, 26syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  suc  v  =  (/) ) )
2827com12 27 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( w  =  (/)  ->  suc  v  =  (/) ) )
2928necon3d 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( suc  v  =/=  (/)  ->  w  =/=  (/) ) )
3018, 29mpi 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  w  =/=  (/) )
3130ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
w  ~~  suc  v  ->  w  =/=  (/) ) )
32 n0 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  w )
33 dif1en 7091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v  /\  z  e.  w )  ->  ( w  \  {
z } )  ~~  v )
34333expia 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( z  e.  w  ->  ( w  \  { z } ) 
~~  v ) )
35 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  w  ->  { z }  C_  w )
36 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( { z }  u.  ( w  \  { z } ) )
37 undif 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { z }  C_  w  <->  ( { z }  u.  ( w  \  { z } ) )  =  w )
3837biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { z }  C_  w  ->  ( { z }  u.  ( w  \  { z } ) )  =  w )
3936, 38syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { z }  C_  w  ->  ( ( w  \  { z } )  u.  { z } )  =  w )
40 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
41 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  \  { z } )  e.  _V )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w 
\  { z } )  e.  _V
43 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( y  ~~  v 
<->  ( w  \  {
z } )  ~~  v ) )
4443anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  <->  ( v  e.  om  /\  ( w 
\  { z } )  ~~  v ) ) )
45 uneq1 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( y  u. 
{ z } )  =  ( ( w 
\  { z } )  u.  { z } ) )
46 dfsbcq 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  u.  { z } )  =  ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  ->  ( [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w 
\  { z } )  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w 
\  { z } )  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )
4847imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph )  <->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )
) )
4944, 48imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )  <->  ( (
v  e.  om  /\  ( w  \  { z } )  ~~  v
)  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )
) ) )
50 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  v  <->  y  ~~  v ) )
51 findcard2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5250, 51imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~~  v  ->  ph )  <->  ( y  ~~  v  ->  ch )
) )
5352spv 1938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  (
y  ~~  v  ->  ch ) )
54 rspe 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  ->  E. v  e.  om  y  ~~  v )
55 isfi 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. v  e.  om  y  ~~  v
)
5654, 55sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
y  e.  Fin )
57 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y 
~~  v  ->  (
( y  ~~  v  ->  ch )  ->  ch ) )
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( ( y  ~~  v  ->  ch )  ->  ch ) )
59 findcard2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
6056, 58, 59sylsyld 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( ( y  ~~  v  ->  ch )  ->  th ) )
6153, 60syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  th )
)
62 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  y  e. 
_V
63 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { z }  e.  _V
6462, 63unex 4518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
65 findcard2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
6664, 65sbcie 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( [. ( y  u.  {
z } )  /  x ]. ph  <->  th )
6761, 66syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )
6842, 49, 67vtocl 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  om  /\  ( w  \  { z } )  ~~  v
)  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )
)
69 dfsbcq 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w  ->  ( [. ( ( w  \  { z } )  u.  { z } )  /  x ]. ph  <->  [. w  /  x ]. ph ) )
7069imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w  ->  (
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )  <->  ( A. x ( x 
~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
7168, 70syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w  ->  (
( v  e.  om  /\  ( w  \  {
z } )  ~~  v )  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7235, 39, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  w  ->  (
( v  e.  om  /\  ( w  \  {
z } )  ~~  v )  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7372exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  w  ->  (
v  e.  om  ->  ( ( w  \  {
z } )  ~~  v  ->  ( A. x
( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) ) )
7473com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  om  ->  (
z  e.  w  -> 
( ( w  \  { z } ) 
~~  v  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) ) )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( z  e.  w  ->  ( (
w  \  { z } )  ~~  v  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) ) )
7634, 75mpdd 36 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( z  e.  w  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7776exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( E. z 
z  e.  w  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7832, 77syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  ( A. x
( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7978ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
w  ~~  suc  v  -> 
( w  =/=  (/)  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) ) )
8031, 79mpdd 36 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  om  ->  (
w  ~~  suc  v  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
8180com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  (
w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
8281alrimdv 1619 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  A. w
( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
83 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( x  ~~  suc  v  ->  ph )
84 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  w  ~~  suc  v
85 nfsbc1v 3010 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. w  /  x ]. ph
8684, 85nfim 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph )
87 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x  ~~  suc  v  <->  w  ~~  suc  v ) )
88 sbceq1a 3001 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
8987, 88imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  ~~  suc  v  ->  ph )  <->  ( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
9083, 86, 89cbval 1924 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  ~~  suc  v  ->  ph )  <->  A. w ( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
9182, 90syl6ibr 218 . . . . . 6  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  A. x
( x  ~~  suc  v  ->  ph ) ) )
925, 8, 11, 17, 91finds1 4685 . . . . 5  |-  ( w  e.  om  ->  A. x
( x  ~~  w  ->  ph ) )
939219.21bi 1794 . . . 4  |-  ( w  e.  om  ->  (
x  ~~  w  ->  ph ) )
9493rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. w  e.  om  x  ~~  w  ->  ph )
952, 94sylbi 187 . 2  |-  ( x  e.  Fin  ->  ph )
961, 95vtoclga 2849 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   suc csuc 4394   omcom 4656    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  findcard2s  7099  frfi  7102  fnfi  7134  iunfi  7144  finsschain  7162  infdiffi  7358  fin1a2lem10  8035  wunfi  8343  rexfiuz  11831  drsdirfi  14072  fiuncmp  17131  finiunmbl  18901  findcard2OLD  26407  heibor1lem  26533  pclfinclN  30139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator