MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  findcard2s Unicode version

Theorem findcard2s 7186
Description: Variation of findcard2 7185 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2s.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
findcard2s.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
findcard2s.3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
findcard2s.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
findcard2s.5  |-  ps
findcard2s.6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
findcard2s  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ch, x    ph, y,
z    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    ch( y, z)    th( y, z)    ta( y,
z)

Proof of Theorem findcard2s
StepHypRef Expression
1 findcard2s.1 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
2 findcard2s.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3 findcard2s.3 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
4 findcard2s.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 findcard2s.5 . 2  |-  ps
6 findcard2s.6 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
76ex 423 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( -.  z  e.  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
8 uncom 3395 . . . . . . 7  |-  ( { z }  u.  y
)  =  ( y  u.  { z } )
9 snssi 3838 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  y  ->  { z }  C_  y )
10 ssequn1 3421 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  C_  y  <->  ( { z }  u.  y )  =  y )
119, 10sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  y  ->  ( { z }  u.  y )  =  y )
128, 11syl5reqr 2405 . . . . . 6  |-  ( z  e.  y  ->  y  =  ( y  u. 
{ z } ) )
13 vex 2867 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1413eqvinc 2971 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( y  u. 
{ z } )  <->  E. x ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  {
z } ) ) )
1512, 14sylib 188 . . . . 5  |-  ( z  e.  y  ->  E. x
( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  { z } ) ) )
162bicomd 192 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
1716, 3sylan9bb 680 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( ch  <->  th ) )
1817exlimiv 1634 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( ch  <->  th )
)
1915, 18syl 15 . . . 4  |-  ( z  e.  y  ->  ( ch 
<->  th ) )
2019biimpd 198 . . 3  |-  ( z  e.  y  ->  ( ch  ->  th ) )
217, 20pm2.61d2 152 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
221, 2, 3, 4, 5, 21findcard2 7185 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710    u. cun 3226    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   Fincfn 6948
This theorem is referenced by:  ac6sfi  7188  domunfican  7216  fodomfi  7222  hashxplem  11475  hashmap  11477  hashbc  11481  hashf1lem2  11484  hashf1  11485  fsum2d  12325  fsumabs  12350  fsumrlim  12360  fsumo1  12361  fsumiun  12370  incexclem  12386  gsum2d  15316  ablfac1eulem  15400  mplcoe1  16302  mplcoe2  16304  ptcmpfi  17604  tmdgsum  17874  fsumcn  18471  ovolfiniun  18958  volfiniun  19002  itgfsum  19279  dvmptfsum  19420  jensen  20388  pwslnm  26519  fnchoice  27023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-1o 6563  df-er 6744  df-en 6949  df-fin 6952
  Copyright terms: Public domain W3C validator