MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  findcard2s Unicode version

Theorem findcard2s 7316
Description: Variation of findcard2 7315 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2s.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
findcard2s.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
findcard2s.3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
findcard2s.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
findcard2s.5  |-  ps
findcard2s.6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
findcard2s  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ch, x    ph, y,
z    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    ch( y, z)    th( y, z)    ta( y,
z)

Proof of Theorem findcard2s
StepHypRef Expression
1 findcard2s.1 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
2 findcard2s.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3 findcard2s.3 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
4 findcard2s.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 findcard2s.5 . 2  |-  ps
6 findcard2s.6 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
76ex 424 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( -.  z  e.  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
8 uncom 3459 . . . . . . 7  |-  ( { z }  u.  y
)  =  ( y  u.  { z } )
9 snssi 3910 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  y  ->  { z }  C_  y )
10 ssequn1 3485 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  C_  y  <->  ( { z }  u.  y )  =  y )
119, 10sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  y  ->  ( { z }  u.  y )  =  y )
128, 11syl5reqr 2459 . . . . . 6  |-  ( z  e.  y  ->  y  =  ( y  u. 
{ z } ) )
13 vex 2927 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1413eqvinc 3031 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( y  u. 
{ z } )  <->  E. x ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  {
z } ) ) )
1512, 14sylib 189 . . . . 5  |-  ( z  e.  y  ->  E. x
( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  { z } ) ) )
162bicomd 193 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
1716, 3sylan9bb 681 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( ch  <->  th ) )
1817exlimiv 1641 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( ch  <->  th )
)
1915, 18syl 16 . . . 4  |-  ( z  e.  y  ->  ( ch 
<->  th ) )
2019biimpd 199 . . 3  |-  ( z  e.  y  ->  ( ch  ->  th ) )
217, 20pm2.61d2 154 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
221, 2, 3, 4, 5, 21findcard2 7315 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3286    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782   Fincfn 7076
This theorem is referenced by:  ac6sfi  7318  domunfican  7346  fodomfi  7352  hashxplem  11659  hashmap  11661  hashbc  11665  hashf1lem2  11668  hashf1  11669  fsum2d  12518  fsumabs  12543  fsumrlim  12553  fsumo1  12554  fsumiun  12563  incexclem  12579  gsum2d  15509  ablfac1eulem  15593  mplcoe1  16491  mplcoe2  16493  ptcmpfi  17806  tmdgsum  18086  fsumcn  18861  ovolfiniun  19358  volfiniun  19402  itgfsum  19679  dvmptfsum  19820  jensen  20788  fprod2d  25266  pwslnm  27072  fnchoice  27575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-1o 6691  df-er 6872  df-en 7077  df-fin 7080
  Copyright terms: Public domain W3C validator