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Theorem findcard3 7116
Description: Schema for strong induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on any proper subset. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard3.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
findcard3.2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
findcard3.3  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ph )  ->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
findcard3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    x, A    ta, x    ch, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ch( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem findcard3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6901 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. w  e.  om  A  ~~  w
)
2 nnon 4678 . . . . . 6  |-  ( w  e.  om  ->  w  e.  On )
3 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  om  <->  z  e.  om ) )
4 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
x  ~~  w  <->  x  ~~  z ) )
54imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  z  ->  ph )
) )
65albidv 1615 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x
( x  ~~  z  ->  ph ) ) )
73, 6imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  e.  om  ->  A. x ( x 
~~  w  ->  ph )
)  <->  ( z  e. 
om  ->  A. x ( x 
~~  z  ->  ph )
) ) )
8 rspe 2617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  ->  E. w  e.  om  y  ~~  w )
9 isfi 6901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. w  e.  om  y  ~~  w
)
108, 9sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  -> 
y  e.  Fin )
11 19.21v 1843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x ( z  e. 
om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  <->  ( z  e.  om  ->  A. x
( x  ~~  z  ->  ph ) ) )
1211ralbii 2580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  w  A. x ( z  e. 
om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  <->  A. z  e.  w  ( z  e.  om  ->  A. x
( x  ~~  z  ->  ph ) ) )
13 ralcom4 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  w  A. x ( z  e. 
om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  <->  A. x A. z  e.  w  ( z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) ) )
1412, 13bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  w  (
z  e.  om  ->  A. x ( x  ~~  z  ->  ph ) )  <->  A. x A. z  e.  w  ( z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) ) )
15 pssss 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x 
C.  y  ->  x  C_  y )
16 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  x  C_  y )  ->  x  e.  Fin )
17 isfi 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  Fin  <->  E. z  e.  om  x  ~~  z
)
1816, 17sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  x  C_  y )  ->  E. z  e.  om  x  ~~  z )
1910, 15, 18syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  E. z  e.  om  x  ~~  z
)
20 ensym 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x 
~~  z  ->  z  ~~  x )
2120ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y )  /\  (
z  e.  om  /\  x  ~~  z ) )  ->  z  ~~  x
)
22 php3 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  x  C.  y )  ->  x  ~<  y )
2310, 22sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  x  ~<  y )
2423adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y )  /\  (
z  e.  om  /\  x  ~~  z ) )  ->  x  ~<  y
)
25 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y )  /\  (
z  e.  om  /\  x  ~~  z ) )  ->  y  ~~  w
)
26 sdomentr 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  ~<  y  /\  y  ~~  w )  ->  x  ~<  w )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y )  /\  (
z  e.  om  /\  x  ~~  z ) )  ->  x  ~<  w
)
28 ensdomtr 7013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  ~~  x  /\  x  ~<  w )  -> 
z  ~<  w )
2921, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y )  /\  (
z  e.  om  /\  x  ~~  z ) )  ->  z  ~<  w
)
30 nnon 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  On )
3130ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y )  /\  (
z  e.  om  /\  x  ~~  z ) )  ->  z  e.  On )
322ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y )  /\  (
z  e.  om  /\  x  ~~  z ) )  ->  w  e.  On )
33 sdomel 7024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  On  /\  w  e.  On )  ->  ( z  ~<  w  ->  z  e.  w ) )
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y )  /\  (
z  e.  om  /\  x  ~~  z ) )  ->  ( z  ~<  w  ->  z  e.  w
) )
3529, 34mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( w  e. 
om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y )  /\  (
z  e.  om  /\  x  ~~  z ) )  ->  z  e.  w
)
3635ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  ( (
z  e.  om  /\  x  ~~  z )  -> 
z  e.  w ) )
37 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  om  /\  x  ~~  z )  ->  x  ~~  z )
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  ( (
z  e.  om  /\  x  ~~  z )  ->  x  ~~  z ) )
3936, 38jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  ( (
z  e.  om  /\  x  ~~  z )  -> 
( z  e.  w  /\  x  ~~  z ) ) )
4039reximdv2 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  ( E. z  e.  om  x  ~~  z  ->  E. z  e.  w  x  ~~  z ) )
4119, 40mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  E. z  e.  w  x  ~~  z )
42 r19.29 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. z  e.  w  ( z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  /\  E. z  e.  w  x 
~~  z )  ->  E. z  e.  w  ( ( z  e. 
om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  /\  x  ~~  z ) )
4342expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. z  e.  w  x 
~~  z  ->  ( A. z  e.  w  ( z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  ->  E. z  e.  w  ( ( z  e. 
om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  /\  x  ~~  z ) ) )
4441, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  ( A. z  e.  w  (
z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  ->  E. z  e.  w  ( (
z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  /\  x  ~~  z ) ) )
45 ordom 4681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  Ord  om
46 ordelss 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Ord  om  /\  w  e.  om )  ->  w  C_ 
om )
4745, 46mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  om  ->  w  C_ 
om )
4847ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  w  C_  om )
4948sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  ( z  e.  w  ->  z  e. 
om ) )
50 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  -> 
( x  ~~  z  ->  ph ) ) )
5150imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( z  e. 
om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  /\  x  ~~  z )  ->  ph ) )
5249, 51syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  ( z  e.  w  ->  ( ( ( z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  /\  x  ~~  z )  ->  ph ) ) )
5352rexlimdv 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  ( E. z  e.  w  (
( z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  /\  x  ~~  z )  ->  ph ) )
5444, 53syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  /\  x  C.  y
)  ->  ( A. z  e.  w  (
z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  ->  ph )
)
5554ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  -> 
( x  C.  y  ->  ( A. z  e.  w  ( z  e. 
om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  ->  ph ) ) )
5655com23 72 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  -> 
( A. z  e.  w  ( z  e. 
om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  -> 
( x  C.  y  ->  ph ) ) )
5756alimdv 1611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  -> 
( A. x A. z  e.  w  (
z  e.  om  ->  ( x  ~~  z  ->  ph ) )  ->  A. x
( x  C.  y  ->  ph ) ) )
5814, 57syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  -> 
( A. z  e.  w  ( z  e. 
om  ->  A. x ( x 
~~  z  ->  ph )
)  ->  A. x
( x  C.  y  ->  ph ) ) )
59 findcard3.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ph )  ->  ch ) )
6010, 58, 59sylsyld 52 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  om  /\  y  ~~  w )  -> 
( A. z  e.  w  ( z  e. 
om  ->  A. x ( x 
~~  z  ->  ph )
)  ->  ch )
)
6160impancom 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  om  /\  A. z  e.  w  ( z  e.  om  ->  A. x ( x  ~~  z  ->  ph ) ) )  ->  ( y  ~~  w  ->  ch ) )
6261alrimiv 1621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  om  /\  A. z  e.  w  ( z  e.  om  ->  A. x ( x  ~~  z  ->  ph ) ) )  ->  A. y ( y 
~~  w  ->  ch ) )
6362expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  w  (
z  e.  om  ->  A. x ( x  ~~  z  ->  ph ) )  -> 
( w  e.  om  ->  A. y ( y 
~~  w  ->  ch ) ) )
64 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  w  <->  y  ~~  w ) )
65 findcard3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
6664, 65imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( y  ~~  w  ->  ch )
) )
6766cbvalv 1955 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. y
( y  ~~  w  ->  ch ) )
6863, 67syl6ibr 218 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  w  (
z  e.  om  ->  A. x ( x  ~~  z  ->  ph ) )  -> 
( w  e.  om  ->  A. x ( x 
~~  w  ->  ph )
) )
6968a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  On  ->  ( A. z  e.  w  ( z  e.  om  ->  A. x ( x 
~~  z  ->  ph )
)  ->  ( w  e.  om  ->  A. x
( x  ~~  w  ->  ph ) ) ) )
707, 69tfis2 4663 . . . . . 6  |-  ( w  e.  On  ->  (
w  e.  om  ->  A. x ( x  ~~  w  ->  ph ) ) )
712, 70mpcom 32 . . . . 5  |-  ( w  e.  om  ->  A. x
( x  ~~  w  ->  ph ) )
7271rgen 2621 . . . 4  |-  A. w  e.  om  A. x ( x  ~~  w  ->  ph )
73 r19.29 2696 . . . 4  |-  ( ( A. w  e.  om  A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  /\  E. w  e.  om  A  ~~  w )  ->  E. w  e.  om  ( A. x
( x  ~~  w  ->  ph )  /\  A  ~~  w ) )
7472, 73mpan 651 . . 3  |-  ( E. w  e.  om  A  ~~  w  ->  E. w  e.  om  ( A. x
( x  ~~  w  ->  ph )  /\  A  ~~  w ) )
751, 74sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. w  e.  om  ( A. x
( x  ~~  w  ->  ph )  /\  A  ~~  w ) )
76 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  w  <->  A  ~~  w ) )
77 findcard3.2 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7876, 77imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( A  ~~  w  ->  ta )
) )
7978spcgv 2881 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  ->  ( A  ~~  w  ->  ta ) ) )
8079imp3a 420 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  /\  A  ~~  w )  ->  ta ) )
8180rexlimdvw 2683 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. w  e.  om  ( A. x ( x 
~~  w  ->  ph )  /\  A  ~~  w )  ->  ta ) )
8275, 81mpd 14 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165    C. wpss 3166   class class class wbr 4039   Ord word 4407   Oncon0 4408   omcom 4672    ~~ cen 6876    ~< csdm 6878   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  marypha1lem  7202  pgpfac1  15331  pgpfac  15335  fbfinnfr  17552  wilthlem3  20324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883
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