MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Structured version   Unicode version

Theorem fineqv 7326
Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )

Proof of Theorem fineqv
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssv 3370 . . . 4  |-  Fin  C_  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  C_  _V )
3 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
4 fineqvlem 7325 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  _V  /\  -.  a  e.  Fin )  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
53, 4mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
6 reldom 7117 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
76brrelexi 4920 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  ~P ~P a  ->  om  e.  _V )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  e.  _V )
98con1i 124 . . . . 5  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  a  e.  Fin )
109a1d 24 . . . 4  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  ( a  e.  _V  ->  a  e.  Fin ) )
1110ssrdv 3356 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  _V  C_  Fin )
122, 11eqssd 3367 . 2  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  =  _V )
13 ominf 7323 . . 3  |-  -.  om  e.  Fin
14 eleq2 2499 . . 3  |-  ( Fin  =  _V  ->  ( om  e.  Fin  <->  om  e.  _V ) )
1513, 14mtbii 295 . 2  |-  ( Fin  =  _V  ->  -.  om  e.  _V )
1612, 15impbii 182 1  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4214   omcom 4847    ~<_ cdom 7109   Fincfn 7111
This theorem is referenced by:  npomex  8875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115
  Copyright terms: Public domain W3C validator