MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Unicode version

Theorem fineqv 7094
Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )

Proof of Theorem fineqv
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssv 3211 . . . 4  |-  Fin  C_  _V
21a1i 10 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  C_  _V )
3 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
4 fineqvlem 7093 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  _V  /\  -.  a  e.  Fin )  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
53, 4mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
6 reldom 6885 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
76brrelexi 4745 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  ~P ~P a  ->  om  e.  _V )
85, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  e.  _V )
98con1i 121 . . . . 5  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  a  e.  Fin )
109a1d 22 . . . 4  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  ( a  e.  _V  ->  a  e.  Fin ) )
1110ssrdv 3198 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  _V  C_  Fin )
122, 11eqssd 3209 . 2  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  =  _V )
13 ominf 7091 . . 3  |-  -.  om  e.  Fin
14 eleq2 2357 . . 3  |-  ( Fin  =  _V  ->  ( om  e.  Fin  <->  om  e.  _V ) )
1513, 14mtbii 293 . 2  |-  ( Fin  =  _V  ->  -.  om  e.  _V )
1612, 15impbii 180 1  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   omcom 4672    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  npomex  8636
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator