MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finiunmbl Structured version   Unicode version

Theorem finiunmbl 19440
Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
finiunmbl  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem finiunmbl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2906 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
2 iuneq1 4108 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
41, 3imbi12d 313 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
) )
5 raleq 2906 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
6 iuneq1 4108 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  x  B )
76eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
85, 7imbi12d 313 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
) )
9 raleq 2906 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
10 iuneq1 4108 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B )
1110eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
129, 11imbi12d 313 . . 3  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )  <->  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) ) )
13 raleq 2906 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
14 iuneq1 4108 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  A  B
)
1514eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
1613, 15imbi12d 313 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
) )
17 0iun 4150 . . . . 5  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
18 0mbl 19436 . . . . 5  |-  (/)  e.  dom  vol
1917, 18eqeltri 2508 . . . 4  |-  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol
2019a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  B  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
21 ssun1 3512 . . . . . . 7  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
22 ssralv 3409 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
2321, 22ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
2423imim1i 57 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
25 ssun2 3513 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( x  u.  { z } )
26 ssralv 3409 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  (
x  u.  { z } )  ->  ( A. k  e.  (
x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol  ->  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  {
z } B  e. 
dom  vol )
28 iunxun 4174 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  =  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  { z } B )
29 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
30 csbeq1 3256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
3130eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
)
3229, 31ralsn 3851 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
33 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  B  e.  dom  vol
34 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ B
3534nfel1 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol
36 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  k ]_ B )
3736eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
3833, 35, 37cbvral 2930 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  A. x  e.  { z } [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
39 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
4039, 34, 36cbviun 4130 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  { z } B  =  U_ x  e.  {
z } [_ x  /  k ]_ B
4129, 30iunxsn 4172 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
4240, 41eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B
4342eleq1i 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
4432, 38, 433bitr4i 270 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )
45 unmbl 19434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4644, 45sylan2b 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4728, 46syl5eqel 2522 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol )
4847expcom 426 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol 
->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
4927, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
5024, 49sylcom 28 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) )
5150a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) ) )
524, 8, 12, 16, 20, 51findcard2 7350 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5352imp 420 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   [_csb 3253    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   U_ciun 4095   dom cdm 4880   Fincfn 7111   volcvol 19362
This theorem is referenced by:  volfiniun  19443  iunmbl  19449  volsup  19452  iunmbl2  19453  uniioovol  19473  uniioombllem4  19480  uniioombllem5  19481  dyadmbl  19494  i1fima  19572  i1fd  19575  i1fadd  19589  i1fmul  19590  volfiniune  24588  volsupnfl  26253  itg2addnclem2  26259  ftc1anclem6  26287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698  df-ovol 19363  df-vol 19364
  Copyright terms: Public domain W3C validator