MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finiunmbl Unicode version

Theorem finiunmbl 18917
Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
finiunmbl  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem finiunmbl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2749 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
2 iuneq1 3934 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
41, 3imbi12d 311 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
) )
5 raleq 2749 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
6 iuneq1 3934 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  x  B )
76eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
85, 7imbi12d 311 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
) )
9 raleq 2749 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
10 iuneq1 3934 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B )
1110eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
129, 11imbi12d 311 . . 3  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )  <->  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) ) )
13 raleq 2749 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
14 iuneq1 3934 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  A  B
)
1514eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
1613, 15imbi12d 311 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
) )
17 0iun 3975 . . . . 5  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
18 0mbl 18913 . . . . 5  |-  (/)  e.  dom  vol
1917, 18eqeltri 2366 . . . 4  |-  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol
2019a1i 10 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  B  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
21 ssun1 3351 . . . . . . 7  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
22 ssralv 3250 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
2321, 22ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
2423imim1i 54 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
25 ssun2 3352 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( x  u.  { z } )
26 ssralv 3250 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  (
x  u.  { z } )  ->  ( A. k  e.  (
x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol  ->  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  {
z } B  e. 
dom  vol )
28 iunxun 3999 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  =  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  { z } B )
29 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
30 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
3130eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
)
3229, 31ralsn 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
33 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  B  e.  dom  vol
34 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ B
3534nfel1 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol
36 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  k ]_ B )
3736eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
3833, 35, 37cbvral 2773 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  A. x  e.  { z } [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
39 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
4039, 34, 36cbviun 3955 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  { z } B  =  U_ x  e.  {
z } [_ x  /  k ]_ B
4129, 30iunxsn 3997 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
4240, 41eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B
4342eleq1i 2359 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
4432, 38, 433bitr4i 268 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )
45 unmbl 18911 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4644, 45sylan2b 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4728, 46syl5eqel 2380 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol )
4847expcom 424 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol 
->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
4927, 48syl 15 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
5024, 49sylcom 25 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) )
5150a1i 10 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) ) )
524, 8, 12, 16, 20, 51findcard2 7114 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5352imp 418 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   [_csb 3094    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U_ciun 3921   dom cdm 4705   Fincfn 6879   volcvol 18839
This theorem is referenced by:  volfiniun  18920  iunmbl  18926  volsup  18929  iunmbl2  18930  uniioovol  18950  uniioombllem4  18957  uniioombllem5  18958  dyadmbl  18971  i1fima  19049  i1fd  19052  i1fadd  19066  i1fmul  19067  itg2addnclem2  25004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841
  Copyright terms: Public domain W3C validator