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Theorem finminlem 26231
Description: A useful lemma about finite sets. If a property holds for a finite set, it holds for a minimal set. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Dec-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
finminlem.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
finminlem  |-  ( E. x  e.  Fin  ph  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem finminlem
Dummy variables  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 1706 . . . . 5  |-  F/ x E. x ( x  ~~  n  /\  ph )
2 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ x om
31, 2nfrab 2721 . . . 4  |-  F/_ x { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }
4 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ x (/)
53, 4nfne 2539 . . 3  |-  F/ x { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/)
6 isfi 6885 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  x  ~~  m
)
7 19.8a 1718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  ->  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) )
87anim2i 552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  (
m  e.  om  /\  E. x ( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
983impb 1147 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m  /\  ph )  ->  ( m  e. 
om  /\  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
10 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
x  ~~  n  <->  x  ~~  m ) )
1110anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  ~~  n  /\  ph )  <->  ( x  ~~  m  /\  ph )
) )
1211exbidv 1612 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( E. x ( x  ~~  n  /\  ph )  <->  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
1312elrab 2923 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  <->  ( m  e.  om  /\  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
149, 13sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m  /\  ph )  ->  m  e.  {
n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) } )
15 ne0i 3461 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  ->  { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )
1614, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m  /\  ph )  ->  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )
17163exp 1150 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  (
x  ~~  m  ->  (
ph  ->  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) ) ) )
1817rexlimiv 2661 . . . 4  |-  ( E. m  e.  om  x  ~~  m  ->  ( ph  ->  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) ) )
196, 18sylbi 187 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( ph  ->  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) ) )
205, 19rexlimi 2660 . 2  |-  ( E. x  e.  Fin  ph  ->  { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )
21 epweon 4575 . . 3  |-  _E  We  On
22 ssrab2 3258 . . . 4  |-  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  C_  om
23 omsson 4660 . . . 4  |-  om  C_  On
2422, 23sstri 3188 . . 3  |-  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  C_  On
25 wefrc 4387 . . 3  |-  ( (  _E  We  On  /\  { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) } 
C_  On  /\  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  ( {
n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )
2621, 24, 25mp3an12 1267 . 2  |-  ( { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/)  ->  E. m  e.  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  ( {
n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )
27 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ x  m  e.  om
28 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x m
293, 28nfin 3375 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )
3029nfeq1 2428 . . . . . . 7  |-  F/ x
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)
3127, 30nfan 1771 . . . . . 6  |-  F/ x
( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )
32 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ph )
33 sspss 3275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  x  <->  ( y  C.  x  \/  y  =  x ) )
34 rspe 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m )  ->  E. m  e.  om  x  ~~  m )
35 pssss 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y 
C.  x  ->  y  C_  x )
36 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )
3735, 36sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C.  x )  -> 
y  e.  Fin )
3837ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
y  C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
396, 38sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E. m  e.  om  x  ~~  m  ->  ( y 
C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
4034, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m )  -> 
( y  C.  x  ->  y  e.  Fin )
)
4140adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  (
y  C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
4241adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
43 isfi 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. k  e.  om  y  ~~  k
)
44 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  k  e.  om )
45 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  y  ~~  k )
46 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  ps )
47 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  y  e. 
_V
48 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  k  <->  y  ~~  k ) )
49 finminlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
5048, 49anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~~  k  /\  ph )  <->  ( y  ~~  k  /\  ps )
) )
5147, 50spcev 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  ~~  k  /\  ps )  ->  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) )
5245, 46, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) )
5334, 6sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m )  ->  x  e.  Fin )
5453adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  x  e.  Fin )
5554adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  x  e.  Fin )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  x  e.  Fin )
57 php3 7047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C.  x )  -> 
y  ~<  x )
5857ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
y  C.  x  ->  y 
~<  x ) )
5956, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( y  C.  x  ->  y  ~<  x
) )
60 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  k  e. 
_V
61 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( k  e.  _V  ->  (
m  C_  k  ->  m  ~<_  k ) )
6260, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m 
C_  k  ->  m  ~<_  k )
63 endomtr 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  ~~  m  /\  m  ~<_  k )  ->  x  ~<_  k )
6463ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x 
~~  m  ->  (
m  ~<_  k  ->  x  ~<_  k ) )
6564ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps )  ->  ( m  ~<_  k  ->  x  ~<_  k ) )
6665ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( m  ~<_  k  ->  x  ~<_  k ) )
67 ensym 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( y 
~~  k  ->  k  ~~  y )
68 domentr 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  ~<_  k  /\  k  ~~  y )  ->  x  ~<_  y )
6967, 68sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( x  ~<_  k  /\  y  ~~  k )  ->  x  ~<_  y )
7069expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( y 
~~  k  ->  (
x  ~<_  k  ->  x  ~<_  y ) )
7170ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( x  ~<_  k  ->  x  ~<_  y ) )
7266, 71syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( m  ~<_  k  ->  x  ~<_  y ) )
7362, 72syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( m  C_  k  ->  x  ~<_  y ) )
74 domnsym 6987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  ~<_  y  ->  -.  y  ~<  x )
7574con2i 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y 
~<  x  ->  -.  x  ~<_  y )
7673, 75nsyli 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( y  ~<  x  ->  -.  m  C_  k
) )
7759, 76syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( y  C.  x  ->  -.  m  C_  k
) )
7877impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  -.  m  C_  k )
79 nnord 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  om  ->  Ord  m )
8079ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  Ord  m )
81 nnord 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
8281adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  ->  Ord  k )
8382ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  Ord  k )
84 ordtri1 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Ord  m  /\  Ord  k )  ->  (
m  C_  k  <->  -.  k  e.  m ) )
8584con2bid 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Ord  m  /\  Ord  k )  ->  (
k  e.  m  <->  -.  m  C_  k ) )
8680, 83, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  (
k  e.  m  <->  -.  m  C_  k ) )
8778, 86mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  k  e.  m )
8844, 52, 87jca31 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  (
( k  e.  om  /\ 
E. x ( x 
~~  k  /\  ph ) )  /\  k  e.  m ) )
89 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  ( { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  <->  ( k  e.  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  /\  k  e.  m ) )
90 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  (
x  ~~  n  <->  x  ~~  k ) )
9190anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  ~~  n  /\  ph )  <->  ( x  ~~  k  /\  ph )
) )
9291exbidv 1612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  ( E. x ( x  ~~  n  /\  ph )  <->  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) ) )
9392elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  <->  ( k  e.  om  /\  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) ) )
9493anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  e.  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  /\  k  e.  m )  <->  ( ( k  e.  om  /\ 
E. x ( x 
~~  k  /\  ph ) )  /\  k  e.  m ) )
9589, 94bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  ( { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  <->  ( (
k  e.  om  /\  E. x ( x  ~~  k  /\  ph ) )  /\  k  e.  m
) )
9688, 95sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  k  e.  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m ) )
97 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) )
9998exp44 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
k  e.  om  ->  ( y  ~~  k  -> 
( y  C.  x  ->  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =/=  (/) ) ) ) )
10099rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( E. k  e.  om  y  ~~  k  ->  (
y  C.  x  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) ) )
10143, 100syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ( y  C.  x  -> 
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =/=  (/) ) ) )
102101com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  C.  x  ->  ( y  e.  Fin  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) ) )
10342, 102mpdd 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  C.  x  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) )
104103necon2bd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  -.  y  C.  x
) )
105104ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  om  ->  (
( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps )  ->  ( ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/)  ->  -.  y  C.  x ) ) )
106105com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  om  ->  (
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  ( ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps )  ->  -.  y  C.  x ) ) )
107106imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  -.  y  C.  x )
108107pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( y  C.  x  ->  x  =  y ) )
109 equcomi 1646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  x  =  y )
110109a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( y  =  x  ->  x  =  y ) )
111108, 110jaod 369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( ( y 
C.  x  \/  y  =  x )  ->  x  =  y ) )
11233, 111syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( y  C_  x  ->  x  =  y ) )
113112expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ps  ->  ( y  C_  x  ->  x  =  y ) ) )
114113com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( y  C_  x  ->  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
115114imp3a 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
116115alrimiv 1617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  A. y ( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
11732, 116jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ph  /\  A. y ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
118117ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/) )  -> 
( ( x  ~~  m  /\  ph )  -> 
( ph  /\  A. y
( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y )
) ) )
11931, 118eximd 1750 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/) )  -> 
( E. x ( x  ~~  m  /\  ph )  ->  E. x
( ph  /\  A. y
( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y )
) ) )
120119impancom 427 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  E. x ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ( { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  E. x ( ph  /\ 
A. y ( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
12113, 120sylbi 187 . . 3  |-  ( m  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  ->  ( ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  E. x ( ph  /\ 
A. y ( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
122121rexlimiv 2661 . 2  |-  ( E. m  e.  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/)  ->  E. x
( ph  /\  A. y
( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y )
) )
12320, 26, 1223syl 18 1  |-  ( E. x  e.  Fin  ph  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    _E cep 4303    We wwe 4351   Ord word 4391   Oncon0 4392   omcom 4656    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
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