MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finnum Structured version   Unicode version

Theorem finnum 7866
Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
finnum  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )

Proof of Theorem finnum
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7160 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 nnon 4880 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
3 ensym 7185 . . . 4  |-  ( A 
~~  x  ->  x  ~~  A )
4 isnumi 7864 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  ~~  A )  ->  A  e.  dom  card )
52, 3, 4syl2an 465 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  ->  A  e.  dom  card )
65rexlimiva 2831 . 2  |-  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  A  e. 
dom  card )
71, 6sylbi 189 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1727   E.wrex 2712   class class class wbr 4237   Oncon0 4610   omcom 4874   dom cdm 4907    ~~ cen 7135   Fincfn 7138   cardccrd 7853
This theorem is referenced by:  ficardom  7879  ficardid  7880  fidomtri  7911  numwdom  7971  fodomfi2  7972  dfac12k  8058  ficardun  8113  ficardun2  8114  pwsdompw  8115  ackbij2  8154  sdom2en01  8213  dfacfin7  8310  fin1a2lem9  8319  domtriomlem  8353  zornn0g  8416  canthnum  8555  pwfseqlem4  8568  uzindi  11351  hashkf  11651  hashgval  11652  hashen  11662  hashdom  11684  pgpfac1lem5  15668  fiufl  17979  ttac  27145  symggen  27426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-er 6934  df-en 7139  df-fin 7142  df-card 7857
  Copyright terms: Public domain W3C validator