Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finptfin Unicode version

Theorem finptfin 26400
Description: A finite cover is a point-finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
finptfin  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  PtFin )

Proof of Theorem finptfin
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3271 . . . 4  |-  { y  e.  A  |  x  e.  y }  C_  A
2 ssfi 7099 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { y  e.  A  |  x  e.  y }  C_  A )  ->  { y  e.  A  |  x  e.  y }  e.  Fin )
31, 2mpan2 652 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  { y  e.  A  |  x  e.  y }  e.  Fin )
43ralrimivw 2640 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. x  e.  U. A { y  e.  A  |  x  e.  y }  e.  Fin )
5 eqid 2296 . . 3  |-  U. A  =  U. A
65isptfin 26398 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e.  PtFin  <->  A. x  e.  U. A { y  e.  A  |  x  e.  y }  e.  Fin ) )
74, 6mpbird 223 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  PtFin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   U.cuni 3843   Fincfn 6879   PtFincptfin 26364
This theorem is referenced by:  comppfsc  26410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-ptfin 26368
  Copyright terms: Public domain W3C validator