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Theorem finsschain 7348
Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 17997 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
finsschain  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  C_ 
U. A ) )  ->  E. z  e.  A  B  C_  z )
Distinct variable groups:    z, A    z, B

Proof of Theorem finsschain
Dummy variables  a 
b  c  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3312 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  U. A  <->  (/)  C_  U. A
) )
2 sseq1 3312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  z  <->  (/)  C_  z
) )
32rexbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  a 
C_  z  <->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
) )
41, 3imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z ) ) )
54imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z ) ) ) )
6 sseq1 3312 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  U. A  <->  b  C_  U. A ) )
7 sseq1 3312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  z  <->  b  C_  z ) )
87rexbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z  <->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )
96, 8imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( a  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) ) ) )
11 sseq1 3312 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  U. A  <->  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A ) )
12 sseq1 3312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  z 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
1312rexbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z 
<->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
1411, 13imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) )
1514imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) ) )
16 sseq1 3312 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  (
a  C_  U. A  <->  B  C_  U. A
) )
17 sseq1 3312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  (
a  C_  z  <->  B  C_  z
) )
1817rexbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z  <->  E. z  e.  A  B  C_  z
) )
1916, 18imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  (
( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( B  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z
) ) )
2019imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( a  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( B  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z
) ) ) )
21 0ss 3599 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  z
2221rgenw 2716 . . . . . . 7  |-  A. z  e.  A  (/)  C_  z
23 r19.2z 3660 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  (/)  C_  z
)  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2422, 23mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2524adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2625a1d 23 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
) )
27 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  U. A )
2827unssad 3467 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  b  C_  U. A )
2928imim1i 56 . . . . . . 7  |-  ( ( b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )
30 sseq2 3313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
b  C_  z  <->  b  C_  w ) )
3130cbvrexv 2876 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  b 
C_  z  <->  E. w  e.  A  b  C_  w )
32 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )
3332unssbd 3468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  { c }  C_  U. A )
34 vex 2902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e. 
_V
3534snss 3869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  U. A  <->  { c }  C_  U. A )
3633, 35sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  c  e.  U. A )
37 eluni2 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  U. A  <->  E. u  e.  A  c  e.  u )
3836, 37sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  E. u  e.  A  c  e.  u )
39 reeanv 2818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u  e.  A  E. w  e.  A  (
c  e.  u  /\  b  C_  w )  <->  ( E. u  e.  A  c  e.  u  /\  E. w  e.  A  b  C_  w ) )
40 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  -> [ C.]  Or  A
)
41 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  w  e.  A )
42 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  u  e.  A )
43 sorpssun 6465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( w  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
w  u.  u )  e.  A )
4440, 41, 42, 43syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  ( w  u.  u )  e.  A
)
45 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  b  C_  w )
46 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  c  e.  u )
4746snssd 3886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  { c }  C_  u )
48 unss12 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  C_  w  /\  { c }  C_  u
)  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  ( w  u.  u ) )
4945, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  ( w  u.  u ) )
50 sseq2 3313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  u.  u )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  z 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  ( w  u.  u
) ) )
5150rspcev 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  u.  u
)  e.  A  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  ( w  u.  u
) )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z )
5244, 49, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z )
5352expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( u  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( c  e.  u  /\  b  C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5453rexlimdvva 2780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. u  e.  A  E. w  e.  A  (
c  e.  u  /\  b  C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5539, 54syl5bir 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( ( E. u  e.  A  c  e.  u  /\  E. w  e.  A  b 
C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5638, 55mpand 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. w  e.  A  b  C_  w  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) )
5731, 56syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. z  e.  A  b  C_  z  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) )
5857ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  U. A  ->  ( E. z  e.  A  b  C_  z  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
5958a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6029, 59syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6160a2i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) )
6261a1i 11 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )  -> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) ) )
635, 10, 15, 20, 26, 62findcard2 7284 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( B  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z ) ) )
6463com12 29 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z ) ) )
6564imp32 423 1  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  C_ 
U. A ) )  ->  E. z  e.  A  B  C_  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650    u. cun 3261    C_ wss 3263   (/)c0 3571   {csn 3757   U.cuni 3957    Or wor 4443   [ C.] crpss 6457   Fincfn 7045
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  18000
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-rpss 6458  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049
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