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Theorem finsschain 7178
Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 17755 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
finsschain  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  C_ 
U. A ) )  ->  E. z  e.  A  B  C_  z )
Distinct variable groups:    z, A    z, B

Proof of Theorem finsschain
Dummy variables  a 
b  c  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  U. A  <->  (/)  C_  U. A
) )
2 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  z  <->  (/)  C_  z
) )
32rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  a 
C_  z  <->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
) )
41, 3imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z ) ) )
54imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z ) ) ) )
6 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  U. A  <->  b  C_  U. A ) )
7 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  z  <->  b  C_  z ) )
87rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z  <->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )
96, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( a  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) ) ) )
11 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  U. A  <->  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A ) )
12 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  z 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
1312rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z 
<->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
1411, 13imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) ) )
16 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  (
a  C_  U. A  <->  B  C_  U. A
) )
17 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  (
a  C_  z  <->  B  C_  z
) )
1817rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z  <->  E. z  e.  A  B  C_  z
) )
1916, 18imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  (
( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( B  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z
) ) )
2019imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( a  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( B  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z
) ) ) )
21 0ss 3496 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  z
2221rgenw 2623 . . . . . . 7  |-  A. z  e.  A  (/)  C_  z
23 r19.2z 3556 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  (/)  C_  z
)  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2422, 23mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2524adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2625a1d 22 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
) )
27 ssun1 3351 . . . . . . . . 9  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
28 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  U. A )
2927, 28syl5ss 3203 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  b  C_  U. A )
3029imim1i 54 . . . . . . 7  |-  ( ( b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )
31 sseq2 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
b  C_  z  <->  b  C_  w ) )
3231cbvrexv 2778 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  b 
C_  z  <->  E. w  e.  A  b  C_  w )
33 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )
3533, 34syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  { c }  C_  U. A )
36 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e. 
_V
3736snss 3761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  U. A  <->  { c }  C_  U. A )
3835, 37sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  c  e.  U. A )
39 eluni2 3847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  U. A  <->  E. u  e.  A  c  e.  u )
4038, 39sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  E. u  e.  A  c  e.  u )
41 reeanv 2720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u  e.  A  E. w  e.  A  (
c  e.  u  /\  b  C_  w )  <->  ( E. u  e.  A  c  e.  u  /\  E. w  e.  A  b  C_  w ) )
42 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  -> [ C.]  Or  A
)
43 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  w  e.  A )
44 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  u  e.  A )
45 sorpssun 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( w  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
w  u.  u )  e.  A )
4642, 43, 44, 45syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  ( w  u.  u )  e.  A
)
47 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  b  C_  w )
48 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  c  e.  u )
4948snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  { c }  C_  u )
50 unss12 3360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  C_  w  /\  { c }  C_  u
)  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  ( w  u.  u ) )
5147, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  ( w  u.  u ) )
52 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  u.  u )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  z 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  ( w  u.  u
) ) )
5352rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  u.  u
)  e.  A  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  ( w  u.  u
) )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z )
5446, 51, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z )
5554expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( u  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( c  e.  u  /\  b  C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5655rexlimdvva 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. u  e.  A  E. w  e.  A  (
c  e.  u  /\  b  C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5741, 56syl5bir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( ( E. u  e.  A  c  e.  u  /\  E. w  e.  A  b 
C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5840, 57mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. w  e.  A  b  C_  w  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) )
5932, 58syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. z  e.  A  b  C_  z  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) )
6059ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  U. A  ->  ( E. z  e.  A  b  C_  z  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6160a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6230, 61syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6362a2i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) )
6463a1i 10 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )  -> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) ) )
655, 10, 15, 20, 26, 64findcard2 7114 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( B  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z ) ) )
6665com12 27 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z ) ) )
6766imp32 422 1  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  C_ 
U. A ) )  ->  E. z  e.  A  B  C_  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843    Or wor 4329   [ C.] crpss 6292   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  17758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-rpss 6293  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883
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