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Theorem finsschain 7162
Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 17739 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
finsschain  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  C_ 
U. A ) )  ->  E. z  e.  A  B  C_  z )
Distinct variable groups:    z, A    z, B

Proof of Theorem finsschain
Dummy variables  a 
b  c  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  U. A  <->  (/)  C_  U. A
) )
2 sseq1 3199 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  z  <->  (/)  C_  z
) )
32rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  a 
C_  z  <->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
) )
41, 3imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z ) ) )
54imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z ) ) ) )
6 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  U. A  <->  b  C_  U. A ) )
7 sseq1 3199 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  z  <->  b  C_  z ) )
87rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z  <->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )
96, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( a  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) ) ) )
11 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  U. A  <->  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A ) )
12 sseq1 3199 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  z 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
1312rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z 
<->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
1411, 13imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) ) )
16 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  (
a  C_  U. A  <->  B  C_  U. A
) )
17 sseq1 3199 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  (
a  C_  z  <->  B  C_  z
) )
1817rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z  <->  E. z  e.  A  B  C_  z
) )
1916, 18imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  (
( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( B  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z
) ) )
2019imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( a  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( B  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z
) ) ) )
21 0ss 3483 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  z
2221rgenw 2610 . . . . . . 7  |-  A. z  e.  A  (/)  C_  z
23 r19.2z 3543 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  (/)  C_  z
)  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2422, 23mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2524adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2625a1d 22 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
) )
27 ssun1 3338 . . . . . . . . 9  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
28 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  U. A )
2927, 28syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  b  C_  U. A )
3029imim1i 54 . . . . . . 7  |-  ( ( b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )
31 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
b  C_  z  <->  b  C_  w ) )
3231cbvrexv 2765 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  b 
C_  z  <->  E. w  e.  A  b  C_  w )
33 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )
3533, 34syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  { c }  C_  U. A )
36 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e. 
_V
3736snss 3748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  U. A  <->  { c }  C_  U. A )
3835, 37sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  c  e.  U. A )
39 eluni2 3831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  U. A  <->  E. u  e.  A  c  e.  u )
4038, 39sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  E. u  e.  A  c  e.  u )
41 reeanv 2707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u  e.  A  E. w  e.  A  (
c  e.  u  /\  b  C_  w )  <->  ( E. u  e.  A  c  e.  u  /\  E. w  e.  A  b  C_  w ) )
42 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  -> [ C.]  Or  A
)
43 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  w  e.  A )
44 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  u  e.  A )
45 sorpssun 6284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( w  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
w  u.  u )  e.  A )
4642, 43, 44, 45syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  ( w  u.  u )  e.  A
)
47 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  b  C_  w )
48 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  c  e.  u )
4948snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  { c }  C_  u )
50 unss12 3347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  C_  w  /\  { c }  C_  u
)  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  ( w  u.  u ) )
5147, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  ( w  u.  u ) )
52 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  u.  u )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  z 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  ( w  u.  u
) ) )
5352rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  u.  u
)  e.  A  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  ( w  u.  u
) )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z )
5446, 51, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z )
5554expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( u  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( c  e.  u  /\  b  C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5655rexlimdvva 2674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. u  e.  A  E. w  e.  A  (
c  e.  u  /\  b  C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5741, 56syl5bir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( ( E. u  e.  A  c  e.  u  /\  E. w  e.  A  b 
C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5840, 57mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. w  e.  A  b  C_  w  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) )
5932, 58syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. z  e.  A  b  C_  z  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) )
6059ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  U. A  ->  ( E. z  e.  A  b  C_  z  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6160a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6230, 61syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6362a2i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) )
6463a1i 10 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )  -> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) ) )
655, 10, 15, 20, 26, 64findcard2 7098 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( B  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z ) ) )
6665com12 27 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z ) ) )
6766imp32 422 1  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  C_ 
U. A ) )  ->  E. z  e.  A  B  C_  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827    Or wor 4313   [ C.] crpss 6276   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  17742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-rpss 6277  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
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