Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiphp3d Unicode version

Theorem fiphp3d 27005
Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fiphp3d.a  |-  ( ph  ->  A  ~~  NN )
fiphp3d.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fiphp3d.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
Assertion
Ref Expression
fiphp3d  |-  ( ph  ->  E. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x, y    x, B, y    y, D
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem fiphp3d
StepHypRef Expression
1 ominf 7091 . . . . 5  |-  -.  om  e.  Fin
2 fiphp3d.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
3 risset 2603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  B  <->  E. y  e.  B  y  =  D )
4 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  D  <->  D  =  y )
54rexbii 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y  =  D  <->  E. y  e.  B  D  =  y )
63, 5bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  B  <->  E. y  e.  B  D  =  y )
72, 6sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  D  =  y )
87ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  D  =  y )
9 rabid2 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  D  =  y }  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  D  =  y )
108, 9sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  D  =  y } )
11 iunrab 3965 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  D  =  y }
1210, 11syl6reqr 2347 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  =  A )
1312eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
14 fiphp3d.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  ~~  NN )
15 nnenom 11058 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
16 entr 6929 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
1714, 15, 16sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~~  om )
18 enfi 7095 . . . . . . 7  |-  ( A 
~~  om  ->  ( A  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
1917, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
2013, 19bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
211, 20mtbiri 294 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
22 fiphp3d.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
23 iunfi 7160 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. y  e.  B  {
x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2422, 23sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2521, 24mtand 640 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
26 rexnal 2567 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  <->  -.  A. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2725, 26sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  B  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2817, 15jctir 524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ~~  om  /\  NN  ~~  om )
)
29 ssrab2 3271 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  D  =  y }  C_  A
3029jctl 525 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  ->  ( { x  e.  A  |  D  =  y }  C_  A  /\  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin ) )
31 ctbnfien 27004 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  NN  ~~  om )  /\  ( { x  e.  A  |  D  =  y }  C_  A  /\  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
3228, 30, 31syl2an 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
3332ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN ) )
3433reximdv 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  B  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  ->  E. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN ) )
3527, 34mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   omcom 4672    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  pellexlem5  27021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator