MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiprc Unicode version

Theorem fiprc 6958
Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeffrey Hankins, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
fiprc  |-  Fin  e/  _V

Proof of Theorem fiprc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snnex 4540 . 2  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
2 snfi 6957 . . . . . . . 8  |-  { y }  e.  Fin
3 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
Fin 
<->  { y }  e.  Fin ) )
42, 3mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  x  e.  Fin )
54exlimiv 1624 . . . . . 6  |-  ( E. y  x  =  {
y }  ->  x  e.  Fin )
65abssi 3261 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  C_ 
Fin
7 ssexg 4176 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y  x  =  {
y } }  C_  Fin  /\  Fin  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
86, 7mpan 651 . . . 4  |-  ( Fin 
e.  _V  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
98con3i 127 . . 3  |-  ( -. 
{ x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V  ->  -.  Fin  e.  _V )
10 df-nel 2462 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  <->  -.  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
11 df-nel 2462 . . 3  |-  ( Fin 
e/  _V  <->  -.  Fin  e.  _V )
129, 10, 113imtr4i 257 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  ->  Fin 
e/  _V )
131, 12ax-mp 8 1  |-  Fin  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    e/ wnel 2460   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   Fincfn 6879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-1o 6495  df-en 6880  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator