MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiprc Structured version   Unicode version

Theorem fiprc 7180
Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeffrey Hankins, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
fiprc  |-  Fin  e/  _V

Proof of Theorem fiprc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snnex 4705 . 2  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
2 snfi 7179 . . . . . . . 8  |-  { y }  e.  Fin
3 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
Fin 
<->  { y }  e.  Fin ) )
42, 3mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  x  e.  Fin )
54exlimiv 1644 . . . . . 6  |-  ( E. y  x  =  {
y }  ->  x  e.  Fin )
65abssi 3410 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  C_ 
Fin
7 ssexg 4341 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y  x  =  {
y } }  C_  Fin  /\  Fin  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
86, 7mpan 652 . . . 4  |-  ( Fin 
e.  _V  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
98con3i 129 . . 3  |-  ( -. 
{ x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V  ->  -.  Fin  e.  _V )
10 df-nel 2601 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  <->  -.  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
11 df-nel 2601 . . 3  |-  ( Fin 
e/  _V  <->  -.  Fin  e.  _V )
129, 10, 113imtr4i 258 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  ->  Fin 
e/  _V )
131, 12ax-mp 8 1  |-  Fin  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    e/ wnel 2599   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   {csn 3806   Fincfn 7101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-1o 6716  df-en 7102  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator