MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiprc Unicode version

Theorem fiprc 7125
Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeffrey Hankins, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
fiprc  |-  Fin  e/  _V

Proof of Theorem fiprc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snnex 4654 . 2  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
2 snfi 7124 . . . . . . . 8  |-  { y }  e.  Fin
3 eleq1 2448 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
Fin 
<->  { y }  e.  Fin ) )
42, 3mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  x  e.  Fin )
54exlimiv 1641 . . . . . 6  |-  ( E. y  x  =  {
y }  ->  x  e.  Fin )
65abssi 3362 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  C_ 
Fin
7 ssexg 4291 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y  x  =  {
y } }  C_  Fin  /\  Fin  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
86, 7mpan 652 . . . 4  |-  ( Fin 
e.  _V  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
98con3i 129 . . 3  |-  ( -. 
{ x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V  ->  -.  Fin  e.  _V )
10 df-nel 2554 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  <->  -.  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
11 df-nel 2554 . . 3  |-  ( Fin 
e/  _V  <->  -.  Fin  e.  _V )
129, 10, 113imtr4i 258 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  ->  Fin 
e/  _V )
131, 12ax-mp 8 1  |-  Fin  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374    e/ wnel 2552   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   {csn 3758   Fincfn 7046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-1o 6661  df-en 7047  df-fin 7050
  Copyright terms: Public domain W3C validator