Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipreima Structured version   Unicode version

Theorem fipreima 7412
 Description: Given a finite subset of the range of a function, there exists a finite subset of the domain whose image is . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipreima
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fipreima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . 3
2 dfss3 3338 . . . . . 6
3 fvelrnb 5774 . . . . . . 7
43ralbidv 2725 . . . . . 6
52, 4syl5bb 249 . . . . 5
65biimpa 471 . . . 4
763adant3 977 . . 3
8 fveq2 5728 . . . . 5
98eqeq1d 2444 . . . 4
109ac6sfi 7351 . . 3
111, 7, 10syl2anc 643 . 2
12 imassrn 5216 . . . . . . 7
13 frn 5597 . . . . . . 7
1412, 13syl5ss 3359 . . . . . 6
15 vex 2959 . . . . . . . 8
16 imaexg 5217 . . . . . . . 8
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7
1817elpw 3805 . . . . . 6
1914, 18sylibr 204 . . . . 5
2019ad2antrl 709 . . . 4
21 ffun 5593 . . . . . 6
2221ad2antrl 709 . . . . 5
23 simpl3 962 . . . . 5
24 imafi 7399 . . . . 5
2522, 23, 24syl2anc 643 . . . 4
26 elin 3530 . . . 4
2720, 25, 26sylanbrc 646 . . 3
28 fvco3 5800 . . . . . . . . . . 11
29 fvresi 5924 . . . . . . . . . . . 12
3029adantl 453 . . . . . . . . . . 11
3128, 30eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10
3231ralbidva 2721 . . . . . . . . 9
3332biimprd 215 . . . . . . . 8
3433adantl 453 . . . . . . 7
3534impr 603 . . . . . 6
36 simpl1 960 . . . . . . . 8
37 ffn 5591 . . . . . . . . 9
3837ad2antrl 709 . . . . . . . 8
3913ad2antrl 709 . . . . . . . 8
40 fnco 5553 . . . . . . . 8
4136, 38, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . 7
42 fnresi 5562 . . . . . . 7
43 eqfnfv 5827 . . . . . . 7
4441, 42, 43sylancl 644 . . . . . 6
4535, 44mpbird 224 . . . . 5
4645imaeq1d 5202 . . . 4
47 imaco 5375 . . . 4
48 ssid 3367 . . . . 5
49 resiima 5220 . . . . 5
5048, 49ax-mp 8 . . . 4
5146, 47, 503eqtr3g 2491 . . 3
52 imaeq2 5199 . . . . 5
5352eqeq1d 2444 . . . 4
5453rspcev 3052 . . 3
5527, 51, 54syl2anc 643 . 2
5611, 55exlimddv 1648 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  cpw 3799   cid 4493   crn 4879   cres 4880  cima 4881   ccom 4882   wfun 5448   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  cfn 7109 This theorem is referenced by:  fodomfi2  7941  cmpfi  17471  elrfirn  26749  lmhmfgsplit  27161  hbtlem6  27310 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-fin 7113
 Copyright terms: Public domain W3C validator