MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwss Unicode version

Theorem fipwss 7227
Description: If a set is a family of subsets of some base set, then so is its finite intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwss  |-  ( A 
C_  ~P X  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )

Proof of Theorem fipwss
StepHypRef Expression
1 fiuni 7226 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  =  U. ( fi `  A ) )
21sseq1d 3239 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U. A  C_  X  <->  U. ( fi `  A )  C_  X ) )
3 sspwuni 4024 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P X  <->  U. A  C_  X )
4 sspwuni 4024 . . . 4  |-  ( ( fi `  A ) 
C_  ~P X  <->  U. ( fi `  A )  C_  X )
52, 3, 43bitr4g 279 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  C_  ~P X  <->  ( fi `  A )  C_  ~P X ) )
65biimpa 470 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  C_  ~P X )  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )
7 0ss 3517 . . . 4  |-  (/)  C_  ~P X
8 fvprc 5557 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  =  (/) )
98sseq1d 3239 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( fi `  A
)  C_  ~P X  <->  (/)  C_ 
~P X ) )
107, 9mpbiri 224 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A ) 
C_  ~P X )
1110adantr 451 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\  A  C_  ~P X
)  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )
126, 11pm2.61ian 765 1  |-  ( A 
C_  ~P X  ->  ( fi `  A )  C_  ~P X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   ` cfv 5292   ficfi 7209
This theorem is referenced by:  fsubbas  17614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-fin 6910  df-fi 7210
  Copyright terms: Public domain W3C validator