Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Structured version   Unicode version

Theorem fipwuni 7424
 Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 4699 . . . . 5
2 pwexg 4376 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 pwuni 4388 . . . 4
5 fiss 7422 . . . 4
63, 4, 5sylancl 644 . . 3
7 ssinss1 3562 . . . . . . 7
8 vex 2952 . . . . . . . 8
98elpw 3798 . . . . . . 7
108inex1 4337 . . . . . . . 8
1110elpw 3798 . . . . . . 7
127, 9, 113imtr4i 258 . . . . . 6
1312adantr 452 . . . . 5
1413rgen2a 2765 . . . 4
15 inficl 7423 . . . . 5
163, 15syl 16 . . . 4
1714, 16mpbii 203 . . 3
186, 17sseqtrd 3377 . 2
19 fvprc 5715 . . 3
20 0ss 3649 . . 3
2119, 20syl6eqss 3391 . 2
2218, 21pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wceq 1652   wcel 1725  wral 2698  cvv 2949   cin 3312   wss 3313  c0 3621  cpw 3792  cuni 4008  cfv 5447  cfi 7408 This theorem is referenced by:  fiuni  7426  ordtbas  17249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-fin 7106  df-fi 7409
 Copyright terms: Public domain W3C validator