Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Unicode version

Theorem fipwuni 7179
 Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 4517 . . . . 5
2 pwexg 4194 . . . . 5
31, 2syl 15 . . . 4
4 pwuni 4206 . . . 4
5 fiss 7177 . . . 4
63, 4, 5sylancl 643 . . 3
7 ssinss1 3397 . . . . . . 7
8 vex 2791 . . . . . . . 8
98elpw 3631 . . . . . . 7
108inex1 4155 . . . . . . . 8
1110elpw 3631 . . . . . . 7
127, 9, 113imtr4i 257 . . . . . 6
1312adantr 451 . . . . 5
1413rgen2a 2609 . . . 4
15 inficl 7178 . . . . 5
163, 15syl 15 . . . 4
1714, 16mpbii 202 . . 3
186, 17sseqtrd 3214 . 2
19 0ss 3483 . . 3
20 fvprc 5519 . . . 4
2120sseq1d 3205 . . 3
2219, 21mpbiri 224 . 2
2318, 22pm2.61i 156 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 176   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cpw 3625  cuni 3827  cfv 5255  cfi 7164 This theorem is referenced by:  fiuni  7181  ordtbas  16922 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165
 Copyright terms: Public domain W3C validator