MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Unicode version

Theorem fipwuni 7366
Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 4646 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  e.  _V )
2 pwexg 4324 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ~P
U. A  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P U. A  e.  _V )
4 pwuni 4336 . . . 4  |-  A  C_  ~P U. A
5 fiss 7364 . . . 4  |-  ( ( ~P U. A  e. 
_V  /\  A  C_  ~P U. A )  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
63, 4, 5sylancl 644 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
7 ssinss1 3512 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  U. A  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. A )
8 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
98elpw 3748 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P U. A  <->  x 
C_  U. A )
108inex1 4285 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
1110elpw 3748 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( x  i^i  y ) 
C_  U. A )
127, 9, 113imtr4i 258 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P U. A  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P U. A  /\  y  e.  ~P U. A )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ~P U. A )
1413rgen2a 2715 . . . 4  |-  A. x  e.  ~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A
( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A
15 inficl 7365 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  ->  ( A. x  e. 
~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A ) )
163, 15syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  ~P  U. A A. y  e. 
~P  U. A ( x  i^i  y )  e. 
~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A
) )
1714, 16mpbii 203 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  ~P U. A
)  =  ~P U. A )
186, 17sseqtrd 3327 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ~P U. A )
19 fvprc 5662 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  =  (/) )
20 0ss 3599 . . 3  |-  (/)  C_  ~P U. A
2119, 20syl6eqss 3341 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A ) 
C_  ~P U. A )
2218, 21pm2.61i 158 1  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   _Vcvv 2899    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957   ` cfv 5394   ficfi 7350
This theorem is referenced by:  fiuni  7368  ordtbas  17178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351
  Copyright terms: Public domain W3C validator