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Theorem firest 13337
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )

Proof of Theorem firest
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( Jt  A )  e.  _V
2 elfi2 7168 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  A )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
) )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
)
4 eldifi 3298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
54adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
6 elfpw 7157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) 
<->  ( y  C_  ( Jt  A )  /\  y  e.  Fin ) )
76simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
85, 7syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
96simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
105, 9syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
1110sseld 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  ( Jt  A ) ) )
12 elrest 13332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1312adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1411, 13sylibd 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1514ralrimiv 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A ) )
16 ineq1 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
y  i^i  A )  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )
1716eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
z  =  ( y  i^i  A )  <->  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) ) )
1817ac6sfi 7101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i 
A ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
198, 15, 18syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
20 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  =/=  (/) )
2120ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  =/=  (/) )
22 iinin1 3973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )
)
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A
) )
24 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( fi
`  J )  e. 
_V
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( fi `  J
)  e.  _V )
26 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  A  e.  _V )
27 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : y --> J  -> 
f  Fn  y )
2827adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f  Fn  y )
29 fniinfv 5581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  y  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f
)
31 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  J  e.  _V )
32 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f : y --> J )
338adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  e.  Fin )
34 intrnfi 7170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  _V  /\  ( f : y --> J  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e.  Fin ) )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3531, 32, 21, 33, 34syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3630, 35eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  e.  ( fi `  J ) )
37 elrestr 13333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  |^|_ z  e.  y  (
f `  z )  e.  ( fi `  J
) )  ->  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3825, 26, 36, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( |^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3923, 38eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
40 intiin 3956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  z
41 iineq2 3922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^|_ z  e.  y  z  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )
)
4240, 41syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z )  i^i  A
) )
4342eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  ( |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A )  <->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4439, 43syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z
)  i^i  A )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4544expimpd 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )  ->  |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A ) ) )
4645exlimdv 1664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( E. f
( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4719, 46mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) )
48 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( x  =  |^| y  -> 
( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( x  = 
|^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
5049rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
513, 50syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
52 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
53 elrest 13332 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
5424, 52, 53sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
55 elfi2 7168 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  _V  ->  (
z  e.  ( fi
`  J )  <->  E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y ) )
5655adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  <->  E. y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) z  =  |^| y ) )
57 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  =/=  (/) )
59 iinin1 3973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6140ineq1i 3366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| y  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  z  i^i  A )
6260, 61syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^| y  i^i  A
) )
631a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( Jt  A )  e.  _V )
64 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
)
6564adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )
66 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  J  /\  y  e. 
Fin ) )
6766simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  C_  J )
6865, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  J )
69 elrestr 13333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
70693expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  z  e.  J
)  ->  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7170ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A ) )
7271adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
73 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  J  ->  ( A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) ) )
7468, 72, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7566simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
7665, 75syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
77 iinfi 7171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  _V  /\  ( A. z  e.  y  ( z  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e. 
Fin ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7863, 74, 58, 76, 77syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7962, 78eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
80 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  (
x  e.  ( fi
`  ( Jt  A ) )  <->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8179, 80syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
82 ineq1 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( z  i^i  A
)  =  ( |^| y  i^i  A ) )
8382eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( x  =  ( z  i^i  A )  <-> 
x  =  ( |^| y  i^i  A ) ) )
8483imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )  <->  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8581, 84syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
z  =  |^| y  ->  ( x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8685rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y  ->  (
x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8756, 86sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  ->  ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8887rexlimdv 2666 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8954, 88sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
9051, 89impbid 183 . . 3  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
9190eqrdv 2281 . 2  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
92 fi0 7173 . . 3  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
93 relxp 4794 . . . . . 6  |-  Rel  ( _V  X.  _V )
94 restfn 13329 . . . . . . . 8  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
95 fndm 5343 . . . . . . . 8  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
9694, 95ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
9796releqi 4772 . . . . . 6  |-  ( Rel 
domt  <->  Rel  ( _V  X.  _V ) )
9893, 97mpbir 200 . . . . 5  |-  Rel  domt
9998ovprc 5885 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
10099fveq2d 5529 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( fi `  (/) ) )
101 ianor 474 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  <->  ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V ) )
102 fvprc 5519 . . . . . . 7  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( fi `  J )  =  (/) )
103102oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (
(/)t  A ) )
104 0rest 13334 . . . . . 6  |-  ( (/)t  A )  =  (/)
105103, 104syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
10698ovprc2 5887 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
107105, 106jaoi 368 . . . 4  |-  ( ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V )  ->  ( ( fi
`  J )t  A )  =  (/) )
108101, 107sylbi 187 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( fi `  J )t  A )  =  (/) )
10992, 100, 1083eqtr4a 2341 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
11091, 109pm2.61i 156 1  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   |^|cint 3862   |^|_ciin 3906    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   ficfi 7164   ↾t crest 13325
This theorem is referenced by:  ordtrest2  16934  xkoptsub  17348
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327
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