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Theorem firest 13652
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )

Proof of Theorem firest
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( Jt  A )  e.  _V
2 elfi2 7411 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  A )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
) )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y
)
4 eldifi 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
54adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) )
6 elfpw 7400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin ) 
<->  ( y  C_  ( Jt  A )  /\  y  e.  Fin ) )
76simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
85, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
96simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
105, 9syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  ( Jt  A ) )
1110sseld 3339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  z  e.  ( Jt  A ) ) )
12 elrest 13647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1411, 13sylibd 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( z  e.  y  ->  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A
) ) )
1514ralrimiv 2780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i  A ) )
16 ineq1 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
y  i^i  A )  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )
1716eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
z  =  ( y  i^i  A )  <->  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) ) )
1817ac6sfi 7343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. z  e.  y  E. y  e.  J  z  =  ( y  i^i 
A ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
198, 15, 18syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  E. f ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) ) )
20 eldifsni 3920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  y  =/=  (/) )
2120ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  =/=  (/) )
22 iinin1 4154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )
)
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A
) )
24 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( fi
`  J )  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( fi `  J
)  e.  _V )
26 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  A  e.  _V )
27 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : y --> J  -> 
f  Fn  y )
2827adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f  Fn  y )
29 fniinfv 5777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  y  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  =  |^| ran  f
)
31 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  J  e.  _V )
32 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
f : y --> J )
338adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
y  e.  Fin )
34 intrnfi 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  _V  /\  ( f : y --> J  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e.  Fin ) )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3531, 32, 21, 33, 34syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^| ran  f  e.  ( fi `  J ) )
3630, 35eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  e.  ( fi `  J ) )
37 elrestr 13648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  |^|_ z  e.  y  (
f `  z )  e.  ( fi `  J
) )  ->  ( |^|_ z  e.  y  ( f `  z )  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3825, 26, 36, 37syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( |^|_ z  e.  y  ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
3923, 38eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  ->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )  e.  ( ( fi `  J )t  A ) )
40 intiin 4137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  z
41 iineq2 4102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^|_ z  e.  y  z  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z
)  i^i  A )
)
4240, 41syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  |^| y  =  |^|_ z  e.  y  ( ( f `  z )  i^i  A
) )
4342eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  ->  ( |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A )  <->  |^|_ z  e.  y  ( ( f `
 z )  i^i 
A )  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4439, 43syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  /\  f : y --> J )  -> 
( A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z
)  i^i  A )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) ) )
4544expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( ( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `
 z )  i^i 
A ) )  ->  |^| y  e.  (
( fi `  J
)t 
A ) ) )
4645exlimdv 1646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( E. f
( f : y --> J  /\  A. z  e.  y  z  =  ( ( f `  z )  i^i  A
) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4719, 46mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^| y  e.  ( ( fi `  J
)t 
A ) )
48 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  |^| y  -> 
( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  |^| y  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( x  = 
|^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
5049rexlimdva 2822 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P ( Jt  A )  i^i  Fin )  \  { (/) } ) x  =  |^| y  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
513, 50syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
52 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
53 elrest 13647 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  J
)  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
5424, 52, 53sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  <->  E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A ) ) )
55 elfi2 7411 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  _V  ->  (
z  e.  ( fi
`  J )  <->  E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y ) )
5655adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  <->  E. y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) z  =  |^| y ) )
57 eldifsni 3920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  =/=  (/) )
5857adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  =/=  (/) )
59 iinin1 4154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i 
A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^|_ z  e.  y  z  i^i  A ) )
6140ineq1i 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| y  i^i  A )  =  ( |^|_ z  e.  y  z  i^i  A )
6260, 61syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  =  (
|^| y  i^i  A
) )
631a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( Jt  A )  e.  _V )
64 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
)
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )
66 elfpw 7400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  J  /\  y  e. 
Fin ) )
6766simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  C_  J )
6865, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  C_  J )
69 elrestr 13648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
70693expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  z  e.  J
)  ->  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7170ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A ) )
7271adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  J  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
73 ssralv 3399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  J  ->  ( A. z  e.  J  ( z  i^i  A
)  e.  ( Jt  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) ) )
7468, 72, 73sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  A. z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( Jt  A ) )
7566simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
7665, 75syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  y  e.  Fin )
77 iinfi 7414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  _V  /\  ( A. z  e.  y  ( z  i^i 
A )  e.  ( Jt  A )  /\  y  =/=  (/)  /\  y  e. 
Fin ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7863, 74, 58, 76, 77syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  |^|_ z  e.  y  ( z  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
7962, 78eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )
80 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  (
x  e.  ( fi
`  ( Jt  A ) )  <->  ( |^| y  i^i  A )  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8179, 80syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
82 ineq1 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( z  i^i  A
)  =  ( |^| y  i^i  A ) )
8382eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( x  =  ( z  i^i  A )  <-> 
x  =  ( |^| y  i^i  A ) ) )
8483imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  |^| y  -> 
( ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) )  <->  ( x  =  ( |^| y  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8581, 84syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  (
( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )  ->  (
z  =  |^| y  ->  ( x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8685rexlimdva 2822 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. y  e.  ( ( ~P J  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) z  = 
|^| y  ->  (
x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8756, 86sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  J )  ->  ( x  =  ( z  i^i  A
)  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) ) )
8887rexlimdv 2821 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. z  e.  ( fi `  J
) x  =  ( z  i^i  A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
8954, 88sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ( fi `  J
)t 
A )  ->  x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) ) ) )
9051, 89impbid 184 . . 3  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( fi `  ( Jt  A ) )  <->  x  e.  ( ( fi `  J )t  A ) ) )
9190eqrdv 2433 . 2  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
92 fi0 7417 . . 3  |-  ( fi
`  (/) )  =  (/)
93 relxp 4975 . . . . . 6  |-  Rel  ( _V  X.  _V )
94 restfn 13644 . . . . . . . 8  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
95 fndm 5536 . . . . . . . 8  |-  (t  Fn  ( _V  X.  _V )  ->  domt  =  ( _V  X.  _V ) )
9694, 95ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  domt  =  ( _V  X.  _V )
9796releqi 4952 . . . . . 6  |-  ( Rel 
domt  <->  Rel  ( _V  X.  _V ) )
9893, 97mpbir 201 . . . . 5  |-  Rel  domt
9998ovprc 6100 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  =  (/) )
10099fveq2d 5724 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( fi `  (/) ) )
101 ianor 475 . . . 4  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  <->  ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V ) )
102 fvprc 5714 . . . . . . 7  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( fi `  J )  =  (/) )
103102oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (
(/)t  A ) )
104 0rest 13649 . . . . . 6  |-  ( (/)t  A )  =  (/)
105103, 104syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( -.  J  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
10698ovprc2 6102 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( fi `  J
)t 
A )  =  (/) )
107105, 106jaoi 369 . . . 4  |-  ( ( -.  J  e.  _V  \/  -.  A  e.  _V )  ->  ( ( fi
`  J )t  A )  =  (/) )
108101, 107sylbi 188 . . 3  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( fi `  J )t  A )  =  (/) )
10992, 100, 1083eqtr4a 2493 . 2  |-  ( -.  ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( fi `  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A ) )
11091, 109pm2.61i 158 1  |-  ( fi
`  ( Jt  A ) )  =  ( ( fi `  J )t  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   |^|cint 4042   |^|_ciin 4086    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871   Rel wrel 4875    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   ficfi 7407   ↾t crest 13640
This theorem is referenced by:  ordtrest2  17260  xkoptsub  17678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642
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