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Theorem fislw 15251
 Description: The sylow subgroups of a finite group are exactly the groups which have cardinality equal to the maximum power of dividing the group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fislw.1
Assertion
Ref Expression
fislw pSyl SubGrp

Proof of Theorem fislw
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4 pSyl pSyl
2 slwsubg 15236 . . . 4 pSyl SubGrp
31, 2syl 16 . . 3 pSyl SubGrp
4 fislw.1 . . . 4
5 simpl2 961 . . . 4 pSyl
64, 5, 1slwhash 15250 . . 3 pSyl
73, 6jca 519 . 2 pSyl SubGrp
8 simpl3 962 . . 3 SubGrp
9 simprl 733 . . 3 SubGrp SubGrp
10 simpl2 961 . . . . . . . . 9 SubGrp
1110adantr 452 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp pGrp s
12 simprl 733 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp pGrp s SubGrp
134subgss 14937 . . . . . . . . 9 SubGrp
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp pGrp s
15 ssfi 7321 . . . . . . . 8
1611, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp pGrp s
17 simprrl 741 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp pGrp s
18 ssdomg 7145 . . . . . . . . 9
1916, 17, 18sylc 58 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp pGrp s
20 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp pGrp s pGrp s
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s s
2221subggrp 14939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp s
2312, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp pGrp s s
2421subgbas 14940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp s
2512, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp SubGrp pGrp s s
2625, 16eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp pGrp s s
27 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s s
2827pgpfi 15231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s pGrp s s
2923, 26, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp pGrp s pGrp s s
3020, 29mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp pGrp s s
3130simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp pGrp s
32 prmnn 13074 . . . . . . . . . . . . 13
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp pGrp s
3433nnred 10007 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp pGrp s
3533nnge1d 10034 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp pGrp s
36 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736subg0cl 14944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
3812, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp pGrp s
39 ne0i 3626 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp pGrp s
41 hashnncl 11637 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4216, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp pGrp s
4340, 42mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp pGrp s
4431, 43pccld 13216 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp pGrp s
4544nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp pGrp s
46 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
474grpbn0 14826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
49 hashnncl 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5010, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
5148, 50mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
528, 51pccld 13216 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
5352adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp pGrp s
5453nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp pGrp s
554lagsubg 14994 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
5612, 11, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp pGrp s
5743nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp pGrp s
5851adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp pGrp s
5958nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp pGrp s
60 pc2dvds 13244 . . . . . . . . . . . . . . 15
6157, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp pGrp s
6256, 61mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp pGrp s
63 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15
6563, 64breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . 14
6665rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . 13
6731, 62, 66sylc 58 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp pGrp s
68 eluz2 10486 . . . . . . . . . . . 12
6945, 54, 67, 68syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp pGrp s
7034, 35, 69leexp2ad 11547 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp pGrp s
7130simprd 450 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp pGrp s s
7225fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp pGrp s s
7372eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp pGrp s s
7473rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp pGrp s s
7571, 74mpbird 224 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp pGrp s
76 pcprmpw 13248 . . . . . . . . . . . 12
7731, 43, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp pGrp s
7875, 77mpbid 202 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp pGrp s
79 simplrr 738 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp pGrp s
8070, 78, 793brtr4d 4234 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp pGrp s
814subgss 14937 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
8281ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
83 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . 12
8410, 82, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
8584adantr 452 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp pGrp s
86 hashdom 11645 . . . . . . . . . 10
8716, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp pGrp s
8880, 87mpbid 202 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp pGrp s
89 sbth 7219 . . . . . . . 8
9019, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp pGrp s
91 fisseneq 7312 . . . . . . 7
9216, 17, 90, 91syl3anc 1184 . . . . . 6 SubGrp SubGrp pGrp s
9392expr 599 . . . . 5 SubGrp SubGrp pGrp s
94 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13 s s
9594subgbas 14940 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp s
9695ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11 SubGrp s
9796fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10 SubGrp s
98 simprr 734 . . . . . . . . . 10 SubGrp
9997, 98eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9 SubGrp s
100 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11
101100eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10 s s
102101rspcev 3044 . . . . . . . . 9 s s
10352, 99, 102syl2anc 643 . . . . . . . 8 SubGrp s
10494subggrp 14939 . . . . . . . . . 10 SubGrp s
105104ad2antrl 709 . . . . . . . . 9 SubGrp s
10696, 84eqeltrrd 2510 . . . . . . . . 9 SubGrp s
107 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 s s
108107pgpfi 15231 . . . . . . . . 9 s s pGrp s s
109105, 106, 108syl2anc 643 . . . . . . . 8 SubGrp pGrp s s
1108, 103, 109mpbir2and 889 . . . . . . 7 SubGrp pGrp s
111110adantr 452 . . . . . 6 SubGrp SubGrp pGrp s
112 oveq2 6081 . . . . . . . 8 s s
113112breq2d 4216 . . . . . . 7 pGrp s pGrp s
114 eqimss 3392 . . . . . . . 8
115114biantrurd 495 . . . . . . 7 pGrp s pGrp s
116113, 115bitrd 245 . . . . . 6 pGrp s pGrp s
117111, 116syl5ibcom 212 . . . . 5 SubGrp SubGrp pGrp s
11893, 117impbid 184 . . . 4 SubGrp SubGrp pGrp s
119118ralrimiva 2781 . . 3 SubGrp SubGrp pGrp s
120 isslw 15234 . . 3 pSyl SubGrp SubGrp pGrp s
1218, 9, 119, 120syl3anbrc 1138 . 2 SubGrp pSyl
1227, 121impbida 806 1 pSyl SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073   cen 7098   cdom 7099  cfn 7101   cle 9113  cn 9992  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cexp 11374  chash 11610   cdivides 12844  cprime 13071   cpc 13202  cbs 13461   ↾s cress 13462  c0g 13715  cgrp 14677  SubGrpcsubg 14930   pGrp cpgp 15157   pSyl cslw 15158 This theorem is referenced by:  sylow3lem1  15253 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-eqg 14935  df-ghm 14996  df-ga 15059  df-od 15159  df-pgp 15161  df-slw 15162
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