MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiss Unicode version

Theorem fiss 7222
Description: Subset relationship for function  fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )

Proof of Theorem fiss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3220 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  y  ->  A  C_  y ) )
21adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( B  C_  y  ->  A  C_  y )
)
32anim1d 547 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y )  ->  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) ) )
43ss2abdv 3280 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
5 intss 3920 . . 3  |-  ( { y  |  ( B 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  ->  |^|
{ y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
7 ssexg 4197 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
87ancoms 439 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  _V )
9 dffi2 7221 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
108, 9syl 15 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  =  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
11 dffi2 7221 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( fi `  B )  = 
|^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
1211adantr 451 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  B
)  =  |^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
136, 10, 123sstr4d 3255 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302   A.wral 2577   _Vcvv 2822    i^i cin 3185    C_ wss 3186   |^|cint 3899   ` cfv 5292   ficfi 7209
This theorem is referenced by:  fipwuni  7224  elfiun  7228  tgfiss  16785  ordtbas  16978  leordtval2  16998  lecldbas  17005  2ndcsb  17231  ptbasfi  17332  fclscmpi  17776  prdsxmslem2  18127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-fin 6910  df-fi 7210
  Copyright terms: Public domain W3C validator