MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiss Structured version   Unicode version

Theorem fiss 7422
Description: Subset relationship for function  fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )

Proof of Theorem fiss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3348 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  y  ->  A  C_  y ) )
21adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( B  C_  y  ->  A  C_  y )
)
32anim1d 548 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y )  ->  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) ) )
43ss2abdv 3409 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
5 intss 4064 . . 3  |-  ( { y  |  ( B 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  ->  |^|
{ y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
7 ssexg 4342 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
87ancoms 440 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  _V )
9 dffi2 7421 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  =  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
11 dffi2 7421 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( fi `  B )  = 
|^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
1211adantr 452 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  B
)  =  |^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
136, 10, 123sstr4d 3384 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2698   _Vcvv 2949    i^i cin 3312    C_ wss 3313   |^|cint 4043   ` cfv 5447   ficfi 7408
This theorem is referenced by:  fipwuni  7424  elfiun  7428  tgfiss  17049  ordtbas  17249  leordtval2  17269  lecldbas  17276  2ndcsb  17505  ptbasfi  17606  fclscmpi  18054  prdsxmslem2  18552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-fin 7106  df-fi 7409
  Copyright terms: Public domain W3C validator