MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fissuni Unicode version

Theorem fissuni 7160
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Distinct variable groups:    A, c    B, c

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables  f  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
2 dfss3 3170 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
3 eluni2 3831 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. z  e.  B  x  e.  z )
43ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  U. B  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
52, 4bitri 240 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
65biimpi 186 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
8 eleq2 2344 . . . 4  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( f `  x
) ) )
98ac6sfi 7101 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
101, 7, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
11 imassrn 5025 . . . . . . . . 9  |-  ( f
" A )  C_  ran  f
12 frn 5395 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1311, 12syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  C_  B )
14 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
15 imaexg 5026 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " A )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( f
" A )  e. 
_V
1716elpw 3631 . . . . . . . 8  |-  ( ( f " A )  e.  ~P B  <->  ( f " A )  C_  B
)
1813, 17sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
1918ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
20 ffun 5391 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> B  ->  Fun  f )
2120ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  Fun  f )
22 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  e.  Fin )
23 imafi 7148 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  f  /\  A  e.  Fin )  ->  (
f " A )  e.  Fin )
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  Fin )
25 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( ( f " A )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( (
f " A )  e.  ~P B  /\  ( f " A
)  e.  Fin )
)
2619, 24, 25sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
27 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  f  Fn  A )
29 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  A
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  A  C_  A )
31 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
32 fnfvima 5756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A  C_  A  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  ( f " A
) )
3328, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ( f
" A ) )
34 elssuni 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x )  e.  ( f " A )  ->  (
f `  x )  C_ 
U. ( f " A ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  C_  U. (
f " A ) )
3635sseld 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ( f " A
) ) )
3736ralimdva 2621 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> B  -> 
( A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) ) )
3837imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) )
39 dfss3 3170 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  U. ( f " A )  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. ( f " A
) )
4038, 39sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
4140adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
42 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  U. c  =  U. ( f " A ) )
4342sseq2d 3206 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  ( A  C_  U. c  <->  A  C_  U. (
f " A ) ) )
4443rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A  C_  U. (
f " A ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
4526, 41, 44syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c )
4645ex 423 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
) )
4746exlimdv 1664 . 2  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c ) )
4810, 47mpd 14 1  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  isacs3lem  14269  isnacs3  26785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator