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Theorem fissuni 7176
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Distinct variable groups:    A, c    B, c

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables  f  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
2 dfss3 3183 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
3 eluni2 3847 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. z  e.  B  x  e.  z )
43ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  U. B  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
52, 4bitri 240 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
65biimpi 186 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
8 eleq2 2357 . . . 4  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( f `  x
) ) )
98ac6sfi 7117 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
101, 7, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
11 imassrn 5041 . . . . . . . . 9  |-  ( f
" A )  C_  ran  f
12 frn 5411 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1311, 12syl5ss 3203 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  C_  B )
14 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
15 imaexg 5042 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " A )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( f
" A )  e. 
_V
1716elpw 3644 . . . . . . . 8  |-  ( ( f " A )  e.  ~P B  <->  ( f " A )  C_  B
)
1813, 17sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
1918ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
20 ffun 5407 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> B  ->  Fun  f )
2120ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  Fun  f )
22 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  e.  Fin )
23 imafi 7164 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  f  /\  A  e.  Fin )  ->  (
f " A )  e.  Fin )
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  Fin )
25 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( ( f " A )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( (
f " A )  e.  ~P B  /\  ( f " A
)  e.  Fin )
)
2619, 24, 25sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
27 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  f  Fn  A )
29 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  A
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  A  C_  A )
31 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
32 fnfvima 5772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A  C_  A  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  ( f " A
) )
3328, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ( f
" A ) )
34 elssuni 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x )  e.  ( f " A )  ->  (
f `  x )  C_ 
U. ( f " A ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  C_  U. (
f " A ) )
3635sseld 3192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ( f " A
) ) )
3736ralimdva 2634 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> B  -> 
( A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) ) )
3837imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) )
39 dfss3 3183 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  U. ( f " A )  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. ( f " A
) )
4038, 39sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
4140adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
42 unieq 3852 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  U. c  =  U. ( f " A ) )
4342sseq2d 3219 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  ( A  C_  U. c  <->  A  C_  U. (
f " A ) ) )
4443rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A  C_  U. (
f " A ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
4526, 41, 44syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c )
4645ex 423 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
) )
4746exlimdv 1626 . 2  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c ) )
4810, 47mpd 14 1  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  isacs3lem  14285  isnacs3  26888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883
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