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Theorem fissuni 7411
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Distinct variable groups:    A, c    B, c

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables  f  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
2 dfss3 3338 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
3 eluni2 4019 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. z  e.  B  x  e.  z )
43ralbii 2729 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  U. B  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
52, 4bitri 241 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
65biimpi 187 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
8 eleq2 2497 . . . 4  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( f `  x
) ) )
98ac6sfi 7351 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
101, 7, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
11 imassrn 5216 . . . . . . 7  |-  ( f
" A )  C_  ran  f
12 frn 5597 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1311, 12syl5ss 3359 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  C_  B )
14 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
15 imaexg 5217 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " A )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( f
" A )  e. 
_V
1716elpw 3805 . . . . . 6  |-  ( ( f " A )  e.  ~P B  <->  ( f " A )  C_  B
)
1813, 17sylibr 204 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
1918ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
20 ffun 5593 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  Fun  f )
2120ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  Fun  f )
22 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  e.  Fin )
23 imafi 7399 . . . . 5  |-  ( ( Fun  f  /\  A  e.  Fin )  ->  (
f " A )  e.  Fin )
2421, 22, 23syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  Fin )
25 elin 3530 . . . 4  |-  ( ( f " A )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( (
f " A )  e.  ~P B  /\  ( f " A
)  e.  Fin )
)
2619, 24, 25sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
27 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
2827adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  f  Fn  A )
29 ssid 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  A
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  A  C_  A )
31 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
32 fnfvima 5976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A  C_  A  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  ( f " A
) )
3328, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ( f
" A ) )
34 elssuni 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  e.  ( f " A )  ->  (
f `  x )  C_ 
U. ( f " A ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  C_  U. (
f " A ) )
3635sseld 3347 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ( f " A
) ) )
3736ralimdva 2784 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
( A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) ) )
3837imp 419 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) )
39 dfss3 3338 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. ( f " A )  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. ( f " A
) )
4038, 39sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
4140adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
42 unieq 4024 . . . . 5  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  U. c  =  U. ( f " A ) )
4342sseq2d 3376 . . . 4  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  ( A  C_  U. c  <->  A  C_  U. (
f " A ) ) )
4443rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( ( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A  C_  U. (
f " A ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
4526, 41, 44syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c )
4610, 45exlimddv 1648 1  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   ran crn 4879   "cima 4881   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454   Fincfn 7109
This theorem is referenced by:  isacs3lem  14592  isnacs3  26764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-fin 7113
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