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Theorem fisub 25657
Description: If a set has the finite intersection property, its subsets have also this property. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
fisub.1  |-  B  =  { z  |  E. y ( y  C_  A  /\  y  e.  Fin  /\  z  =  |^| y
) }
fisub.2  |-  D  =  { z  |  E. y ( y  C_  C  /\  y  e.  Fin  /\  z  =  |^| y
) }
Assertion
Ref Expression
fisub  |-  ( C 
C_  A  ->  ( -.  (/)  e.  B  ->  -.  (/)  e.  D ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    y, B    y, C, z
Allowed substitution hints:    B( z)    D( y, z)

Proof of Theorem fisub
StepHypRef Expression
1 0ex 4166 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z  =  |^| y  <->  (/)  =  |^| y ) )
323anbi3d 1258 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( y  C_  C  /\  y  e.  Fin  /\  z  =  |^| y )  <->  ( y  C_  C  /\  y  e. 
Fin  /\  (/)  =  |^| y ) ) )
43exbidv 1616 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( E. y ( y  C_  C  /\  y  e.  Fin  /\  z  =  |^| y
)  <->  E. y ( y 
C_  C  /\  y  e.  Fin  /\  (/)  =  |^| y ) ) )
5 fisub.2 . . . 4  |-  D  =  { z  |  E. y ( y  C_  C  /\  y  e.  Fin  /\  z  =  |^| y
) }
61, 4, 5elab2 2930 . . 3  |-  ( (/)  e.  D  <->  E. y ( y 
C_  C  /\  y  e.  Fin  /\  (/)  =  |^| y ) )
7 sstr 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  C  /\  C  C_  A )  -> 
y  C_  A )
823anbi3d 1258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  /\  y  e.  Fin  /\  z  =  |^| y )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin  /\  (/)  =  |^| y ) ) )
98exbidv 1616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  (/)  ->  ( E. y ( y  C_  A  /\  y  e.  Fin  /\  z  =  |^| y
)  <->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  e.  Fin  /\  (/)  =  |^| y ) ) )
10 fisub.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  { z  |  E. y ( y  C_  A  /\  y  e.  Fin  /\  z  =  |^| y
) }
111, 9, 10elab2 2930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  B  <->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  e.  Fin  /\  (/)  =  |^| y ) )
1211biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y ( y  C_  A  /\  y  e.  Fin  /\  (/)  =  |^| y )  ->  (/)  e.  B )
131219.23bi 1814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  A  /\  y  e.  Fin  /\  (/)  =  |^| y )  ->  (/)  e.  B
)
14133exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  e.  Fin  ->  (
(/)  =  |^| y  -> 
(/)  e.  B )
) )
157, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  C  /\  C  C_  A )  -> 
( y  e.  Fin  ->  ( (/)  =  |^| y  ->  (/)  e.  B ) ) )
1615expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( C 
C_  A  ->  (
y  C_  C  ->  ( y  e.  Fin  ->  (
(/)  =  |^| y  -> 
(/)  e.  B )
) ) )
1716com4l 78 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  C  ->  (
y  e.  Fin  ->  (
(/)  =  |^| y  ->  ( C  C_  A  -> 
(/)  e.  B )
) ) )
18173imp 1145 . . . . 5  |-  ( ( y  C_  C  /\  y  e.  Fin  /\  (/)  =  |^| y )  ->  ( C  C_  A  ->  (/)  e.  B
) )
1918exlimiv 1624 . . . 4  |-  ( E. y ( y  C_  C  /\  y  e.  Fin  /\  (/)  =  |^| y )  ->  ( C  C_  A  ->  (/)  e.  B ) )
2019com12 27 . . 3  |-  ( C 
C_  A  ->  ( E. y ( y  C_  C  /\  y  e.  Fin  /\  (/)  =  |^| y )  ->  (/)  e.  B ) )
216, 20syl5bi 208 . 2  |-  ( C 
C_  A  ->  ( (/) 
e.  D  ->  (/)  e.  B
) )
2221con3d 125 1  |-  ( C 
C_  A  ->  ( -.  (/)  e.  B  ->  -.  (/)  e.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    C_ wss 3165   (/)c0 3468   |^|cint 3878   Fincfn 6879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-v 2803  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469
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