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Theorem fisup2g 7217
Description: A finite set satisfies the conditions to have a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fisup2g  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, R, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem fisup2g
StepHypRef Expression
1 soss 4332 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  B ) )
2 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  R  Or  B )
3 fisupg 7105 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
42, 3supeu 7205 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
543exp 1150 . . . . 5  |-  ( R  Or  B  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) )
61, 5syl6 29 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) ) )
76com4l 78 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  C_  A  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) ) )
873imp2 1166 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
9 reurex 2754 . 2  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
10 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
1110rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y R x )  ->  E. z  e.  B  y R z )
1211ex 423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
1312ralrimivw 2627 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
1413a1d 22 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1514anim2d 548 . . 3  |-  ( x  e.  B  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  -> 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) ) )
1615reximia 2648 . 2  |-  ( E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
178, 9, 163syl 18 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    Or wor 4313   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  fisupcl  7218  ballotlemsup  23063  ssnnssfz  23277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
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