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Theorem fisup2g 7473
Description: A finite set satisfies the conditions to have a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fisup2g  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, R, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem fisup2g
StepHypRef Expression
1 soss 4523 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  B ) )
2 simp1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  R  Or  B )
3 fisupg 7357 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
42, 3supeu 7461 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
543exp 1153 . . . . 5  |-  ( R  Or  B  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) )
61, 5syl6 32 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) ) )
76com4l 81 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  C_  A  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) ) )
873imp2 1169 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
9 reurex 2924 . 2  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
10 breq2 4218 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
1110rspcev 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y R x )  ->  E. z  e.  B  y R z )
1211ex 425 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
1312ralrimivw 2792 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
1413a1d 24 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1514anim2d 550 . . 3  |-  ( x  e.  B  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  -> 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) ) )
1615reximia 2813 . 2  |-  ( E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
178, 9, 163syl 19 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214    Or wor 4504   Fincfn 7111
This theorem is referenced by:  fisupcl  7474  ssnnssfz  24150  ballotlemsup  24764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115
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