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Theorem fisupcl 7472
Description: A nonempty finite set contains its supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 9-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
fisupcl  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  B
)

Proof of Theorem fisupcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  R  Or  A )
2 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  B  C_  A )
3 fisup2g 7471 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
4 ssrexv 3408 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
52, 3, 4sylc 58 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
61, 5supval2 7460 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) ) )
7 breq2 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
87rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y R x )  ->  E. z  e.  B  y R z )
98ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
109ralrimivw 2790 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
1110a1d 23 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1211anim2d 549 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  -> 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) ) )
1312rgen 2771 . . . . 5  |-  A. x  e.  B  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
15 soss 4521 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  B ) )
162, 1, 15sylc 58 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  R  Or  B )
17 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
18 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  B  =/=  (/) )
19 fisupg 7355 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
211, 5supeu 7459 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
22 riotass2 6577 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )  /\  ( E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
232, 14, 20, 21, 22syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  -> 
( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  A ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
2416, 20supeu 7459 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
25 riotacl 6564 . . . 4  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  B )
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  -> 
( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  e.  B )
2723, 26eqeltrrd 2511 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  -> 
( iota_ x  e.  A
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )  e.  B )
286, 27eqeltrd 2510 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    Or wor 4502   iota_crio 6542   Fincfn 7109   supcsup 7445
This theorem is referenced by:  fseqsupcl  11316  isercolllem2  12459  fsumcvg3  12523  mertenslem2  12662  prdsmet  18400  prdsbl  18521  mdegldg  19989  mdegcl  19992  aannenlem2  20246  aalioulem2  20250  ssnnssfz  24148  ballotlemiex  24759  erdszelem5  24881  totbndbnd  26498  prdsbnd  26502  rencldnfilem  26881  aomclem2  27130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-riota 6549  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-sup 7446
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