Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisupcl Unicode version

Theorem fisupcl 7234
 Description: A nonempty finite set contains its supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 9-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
fisupcl

Proof of Theorem fisupcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3
2 simpr3 963 . . . 4
3 fisup2g 7233 . . . 4
4 ssrexv 3251 . . . 4
52, 3, 4sylc 56 . . 3
61, 5supval2 7222 . 2
7 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11
87rspcev 2897 . . . . . . . . . 10
98ex 423 . . . . . . . . 9
109ralrimivw 2640 . . . . . . . 8
1110a1d 22 . . . . . . 7
1211anim2d 548 . . . . . 6
1312rgen 2621 . . . . 5
1413a1i 10 . . . 4
15 soss 4348 . . . . . . 7
162, 1, 15sylc 56 . . . . . 6
17 simpr1 961 . . . . . . 7
18 simpr2 962 . . . . . . 7
19 fisupg 7121 . . . . . . 7
2016, 17, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . 6
2116, 20supeu 7221 . . . . 5
22 reurex 2767 . . . . 5
2321, 22syl 15 . . . 4
241, 5supeu 7221 . . . 4
25 riotass2 6348 . . . 4
262, 14, 23, 24, 25syl22anc 1183 . . 3
27 riotacl 6335 . . . 4
2821, 27syl 15 . . 3
2926, 28eqeltrrd 2371 . 2
306, 29eqeltrd 2370 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  wreu 2558   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039   wor 4329  crio 6313  cfn 6879  csup 7209 This theorem is referenced by:  fseqsupcl  11055  isercolllem2  12155  fsumcvg3  12218  mertenslem2  12357  prdsmet  17950  prdsbl  18053  mdegldg  19468  mdegcl  19471  aannenlem2  19725  aalioulem2  19729  ballotlemiex  23076  ssnnssfz  23292  erdszelem5  23741  fisup2gOLD  26527  totbndbnd  26616  prdsbnd  26620  rencldnfilem  27006  aomclem2  27255 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 6320  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-sup 7210
 Copyright terms: Public domain W3C validator