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Theorem fisupg 7292
Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fisupg  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z

Proof of Theorem fisupg
StepHypRef Expression
1 fimaxg 7291 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x ) )
2 sotrieq2 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x  =  y  <->  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) ) )
32simprbda 607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  /\  x  =  y )  ->  -.  x R y )
43ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x  =  y  ->  -.  x R y ) )
54anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =  y  ->  -.  x R y ) )
65a1dd 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =  y  -> 
( ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  -.  x R y ) ) )
7 pm2.27 37 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  y  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  y R x ) )
8 so2nr 4469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  -.  ( x R y  /\  y R x ) )
9 pm3.21 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y R x  ->  (
x R y  -> 
( x R y  /\  y R x ) ) )
109con3d 127 . . . . . . . . . 10  |-  ( y R x  ->  ( -.  ( x R y  /\  y R x )  ->  -.  x R y ) )
118, 10syl5com 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
y R x  ->  -.  x R y ) )
1211anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
y R x  ->  -.  x R y ) )
137, 12syl9r 69 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =/=  y  -> 
( ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  -.  x R y ) ) )
146, 13pm2.61dne 2628 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  -.  x R
y ) )
1514ralimdva 2728 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
16 breq2 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
1716rspcev 2996 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y R x )  ->  E. z  e.  A  y R z )
1817ex 424 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) )
1918ralrimivw 2734 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )
2019adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) )
2115, 20jctird 529 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
2221reximdva 2762 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
23223ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
241, 23mpd 15 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   (/)c0 3572   class class class wbr 4154    Or wor 4444   Fincfn 7046
This theorem is referenced by:  fisup2g  7405  fisupcl  7406  rencldnfilem  26573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-1o 6661  df-er 6842  df-en 7047  df-fin 7050
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