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Theorem fisupg 7347
Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fisupg  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z

Proof of Theorem fisupg
StepHypRef Expression
1 fimaxg 7346 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x ) )
2 sotrieq2 4523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x  =  y  <->  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) ) )
32simprbda 607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  /\  x  =  y )  ->  -.  x R y )
43ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x  =  y  ->  -.  x R y ) )
54anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =  y  ->  -.  x R y ) )
65a1dd 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =  y  -> 
( ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  -.  x R y ) ) )
7 pm2.27 37 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  y  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  y R x ) )
8 so2nr 4519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  -.  ( x R y  /\  y R x ) )
9 pm3.21 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y R x  ->  (
x R y  -> 
( x R y  /\  y R x ) ) )
109con3d 127 . . . . . . . . . 10  |-  ( y R x  ->  ( -.  ( x R y  /\  y R x )  ->  -.  x R y ) )
118, 10syl5com 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
y R x  ->  -.  x R y ) )
1211anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
y R x  ->  -.  x R y ) )
137, 12syl9r 69 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =/=  y  -> 
( ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  -.  x R y ) ) )
146, 13pm2.61dne 2675 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  -.  x R
y ) )
1514ralimdva 2776 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
16 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
1716rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y R x )  ->  E. z  e.  A  y R z )
1817ex 424 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) )
1918ralrimivw 2782 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )
2019adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) )
2115, 20jctird 529 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
2221reximdva 2810 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
23223ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
241, 23mpd 15 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    Or wor 4494   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  fisup2g  7463  fisupcl  7464  rencldnfilem  26872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105
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