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Theorem fisupg 7121
Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fisupg  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    x, A, y, z

Proof of Theorem fisupg
StepHypRef Expression
1 fimaxg 7120 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x ) )
2 sotrieq2 4358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x  =  y  <->  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) ) )
32simprbda 606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  /\  x  =  y )  ->  -.  x R y )
43ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x  =  y  ->  -.  x R y ) )
54anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =  y  ->  -.  x R y ) )
65a1dd 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =  y  -> 
( ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  -.  x R y ) ) )
7 pm2.27 35 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  y  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  y R x ) )
8 so2nr 4354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  -.  ( x R y  /\  y R x ) )
9 pm3.21 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y R x  ->  (
x R y  -> 
( x R y  /\  y R x ) ) )
109con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( y R x  ->  ( -.  ( x R y  /\  y R x )  ->  -.  x R y ) )
118, 10syl5com 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
y R x  ->  -.  x R y ) )
1211anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
y R x  ->  -.  x R y ) )
137, 12syl9r 67 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =/=  y  -> 
( ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  -.  x R y ) ) )
146, 13pm2.61dne 2536 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  -.  x R
y ) )
1514ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
16 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
1716rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y R x )  ->  E. z  e.  A  y R z )
1817ex 423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) )
1918ralrimivw 2640 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )
2019adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) )
2115, 20jctird 528 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
2221reximdva 2668 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
23223ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
241, 23mpd 14 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    Or wor 4329   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  fisup2g  7233  fisupcl  7234  fisupgOLD  26513  rencldnfilem  27006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883
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