MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisuppfi Structured version   Unicode version

Theorem fisuppfi 14773
Description: A function on a finite set is finitely supported. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fisuppfi.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fisuppfi.2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
fisuppfi  |-  ( ph  ->  ( `' F " C )  e.  Fin )

Proof of Theorem fisuppfi
StepHypRef Expression
1 fisuppfi.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 cnvimass 5224 . . 3  |-  ( `' F " C ) 
C_  dom  F
3 fisuppfi.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
4 fdm 5595 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
62, 5syl5sseq 3396 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F " C )  C_  A
)
7 ssfi 7329 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `' F " C ) 
C_  A )  -> 
( `' F " C )  e.  Fin )
81, 6, 7syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( `' F " C )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   "cima 4881   -->wf 5450   Fincfn 7109
This theorem is referenced by:  psrmulcllem  16451  psrass1  16469  tmdgsum  18125  tsmslem1  18158  tsmssubm  18172  tsmsres  18173  tsmsf1o  18174  tsmsmhm  18175  tsmsadd  18176  tsmsxplem1  18182  tsmsxplem2  18183  imasdsf1olem  18403  xrge0gsumle  18864  xrge0tsms  18865  plypf1  20131  taylpfval  20281  jensenlem2  20826  jensen  20827  amgmlem  20828  amgm  20829  wilthlem2  20852  wilthlem3  20853  lgseisenlem3  21135  xrge0tsmsd  24223  gsumesum  24451  esumlub  24452  esumpfinval  24465  esumpfinvalf  24466  fprodss  25274  elfilspd  27232  mamucl  27433  mamuass  27437  mamudi  27438  mamudir  27439  mamuvs1  27440  mamuvs2  27441  matbas2  27452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator